等比数列等比数列考 点 串 串 讲 1．等比数列的定义及判定方法 (1)等比数列的定义 一般地，一个数列{an}，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(用 q 表示)，就称这个数列为等比数列． 常数 q 就叫做这个等比数列的公比，即 an＋1an ＝q(n∈N＋) 对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行． 和等差数列一样，学习等比数列的定义也要强调： ①“从第二项起”，这是为了保证每一项的前一项确实存在； ②“同一个常数”这是等比数列的基本特征．如数列 3,1，12，14，18，… 从第三项起满足an＋1an ＝12，但a2a1＝13≠12. 所以这个数列就不是等比数列． an＋1an ＝q(n∈N＋) 这一条不容破坏！ ③同样要注意 q＝an＋1an (n∈N＋) ④从等比数列的定义式中可知，等比数列中无零项，因此，等比数列的公比 q≠0，由此可知，式子an＋1an ＝q 与 an＋1＝qan 并不等价！ ⑤和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个：某一项和公比． (2)等比数列的判定方法 ①定义法：an＋1an ＝q(q 是不为 0 的常数，n∈N*)⇔ {an}是等比数列． ②通项公式法：an＝cqn(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)⇔ {an}是等比数列． ③中项公式法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔ {an}是等比数列． ④前 n 项和公式法：Sn＝ a1q－1qn－ a1q－1＝kqn－k，(k＝ a1q－1是不为零的常数，且 q≠0，q≠1)⇔ {an}是等比数列． 2．等比数列的通项公式 已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则等比数列{an}的通项公式为 an＝a1qn－1 (n∈N＋)① 若已知等比数列{an}的第 m 项为 am，公比为 q，则等比数列{an}的通项公式为 an＝amqn－m (n，m∈N＋)② 通项公式的意义不仅可以求通项，而且还可以利用通项公式①求首项和公比；利用通项公式②求指定项 am和公比 q. 3．等比数列的前 n 项和公式及其推导 等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，末项为 an.则前 n 项和为 Sn＝ na1 q＝1a11－qn1－q＝a1－anq1－q q≠1 该公式的推导方法叫做“错位相减法”，它是一种很重要的求和方法．在后面的讲解中将会看到它的重要作用，要明确两点：第一，为什么要错位？即错位的目的是什么？我们说错位是为了在新的式子中产生一系列的与原式相同的项，便于两式做减法，消去一些无关项，而保留我们所需要的项；第二，怎样错位？就是根据等比数列每一项(n≥2...
