专题五 立体几何 §1 空间几何体 真题热身 1．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体 的直观图可以是 ( ) 解析 A，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选 D. 答案 D 2．(2011·湖北)设球的体积为 V1，它的内接正方体的体积为 V2， 下列说法中最合适的是 ( ) A．V1 比 V2 大约多一半 B．V1 比 V2 大约多两倍半 C．V1 比 V2 大约多一倍 D．V1 比 V2 大约多一倍半 解析 设球半径为 R，则 V1＝43πR3.设正方体棱长为 a，则 V2＝a3.又 2R＝ 3a，∴R＝ 32 a. ∴V1＝4π3 ( 32 a)3＝ 32 πa3. ∴V1－V2＝( 32 π－1)a3≈1.7a3. D3．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该 几何体的体积为________m3. 解析 此几何体是由一个长为 3，宽为 2，高为 1 的长方体与底面直径为 2，高为 3 的圆锥组合而成的，故 V＝V 长方体＋V 圆锥＝3×2×1＋π3×12×3＝(6＋π)m3. 答案 (6＋π) 4． (2011·四川)如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，当圆 柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 ________． 解析 方法一 圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为 α，则圆柱底面半径为 4sin α， 高为 8cos α， ∴S 圆柱侧＝2π·4sin α·8cos α＝32πsin 2α. 当 sin 2α＝1 时，S 圆柱侧最大为 32π. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π. 方法二 设圆柱底面半径为 r，则其高为 2 R2－r2， ∴S 圆柱侧＝2πr·2 R2－r2＝4π r2(R2－r2)≤ 4πr2＋(R2－r2)2＝2πR2(当且仅当 r2＝R2－r2，即 r＝ 22 R 时取 “＝”)． 又 R＝4，∴S 圆柱侧最大为 32π. 此时 S 球表－S 圆柱侧＝4π·42－32π＝32π. 答案 32π 考点整合 1．棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形． (2)正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直...
