二 项 式 定 理(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3 那么将 (a+b)4 ， (a+b)5 . . . 展开后，它们的各项是什么呢？引入＝ C20 a2 + C21 ab+ C22 b2= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3(a+b)2 ＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为： a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑 b恰有 1 个取 b 的情况有 C21 种，则 ab 前的系数为C21恰有 2 个取 b 的情况有 C22 种，则 b2 前的系数为 C22每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C20 , 则 a2 前的系数为 C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝ C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对 (a+b)2 展开式的分析(a+b)4 ＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b) ＝？问题：1) ． (a+b)4 展开后各项形式分别是什么？2) ．各项前的系数代表着什么？3) ．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数 代表着这些项在展开式中出现的次数每个都不取 b 的情况有 1 种，即 C40 , 则 a4前的系数为 C40恰有 1 个取 b 的情况有 C41 种，则 a3b 前的系数为C41恰有 2 个取 b 的情况有 C42 种，则 a2b2 前的系数为 C42恰有 3 个取 b 的情况有 C43 种，则 ab3 前的系数为 C43恰有 4 个取 b 的情况有 C44 种，则 b4 前的系数为 C44则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋ C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b43) ．你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4二项展开式定理右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式注 1 ）．二项展开式共有 n+1 项2 ）．各项中 a 的指数从 n 起依次减小 1 ，到 0为此 各项中 b 的指数从 0 起依次增加 1 ，到 n 为此Cnr an-rbr ：二项展开式的通项，记作 Tr+1Cnr ： 二项式系数一般地，对于 n N* 有如 (1+x)n =1+ Cn1 x+ Cn2 x2 ＋ … ＋ Cnr xr ＋… + xn011222()nnnnnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abC b应 用4111)x例 ：展开（ ＋注： 1 ）注意对二项式定理的灵活应用3 ）求二项式系数或项的系数的一种方法是将二项式展开2 ）注意区别二项式系数与项的系数的概念二项式系数为 ；项的系数为：二项式系数与数字系数的积rnC解 :41223344411111)1()()()CCCxxxx ...
