本 章 归 纳 整 合知识网络要点归纳 1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比ΔyΔx的极限，即 lim ΔyΔx＝lim f（x0＋Δx）－f（x0）Δx. 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率． 4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件． 5．利用导数研究函数的极值要注意 (1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧领域而言的． (2)连续函数 f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小． (3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号． 专题一 应用导数解决与切线相关的问题 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k. (1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线的方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)求曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线方程 ①若 P(x0，y0)是切点，则切线方程为 y－y0＝f′(x0)·(x－x0)； ②若 P(x0，y0)不是切点，设切点为 Q(x1，y1)，则切线方程为 y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过 P 点得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ① 又 y1＝f(x1) ② 由①②求出 x1、y1 的值，即得出了过点 P(x0，y0)的切线方程． 【例 1】 设函数 f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程． 解 f′(x)＝8x－1x. 所以在点(1，f(1))处切线的斜率 k＝f′(1)＝7， 又 f(1)＝4＋2＝6， 所以切点的坐标为(1，6)， 所以切线的方程为 y－6＝7(x－1)，即 y＝7x－1. 【例 2】 点 P(2，0)是函数 f(x)＝x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋c 的图象的一个公共点，且两条曲线在点 P 处有相同的切线，求 a，b，c 的值． 解 因为点 P(2，0)是函数 f(x)＝x3＋ax 与 g(x)＝bx2＋c 的图象的一个公共点， 所以 23＋2a＝0 ①...
