高考数学总复习 第四单元第三节导数的应用Ⅱ课件VIP专享VIP免费

第三节 导数的应用Ⅱ求函数的极值 求函数 y ＝ x3 － 12x 的极值 ．分析 首先从方程 f′(x) ＝ 0 求在函数 f(x) 定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．解 f′(x) ＝ 3x2－ 12 ＝ 3(x ＋ 2)(x － 2) ， 令 f′(x) ＝ 0 ，解得 x ＝－ 2 或 x ＝ 2. 当 f′(x) ＞ 0 时， x ＜－ 2 或 x ＞ 2 ； 当 f′(x) ＜ 0 时，－ 2 ＜ x ＜ 2. 故当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如下表： x ( －∞，－ 2) -2( － 2 ，－2)2(2 ， +∞)f′(x) + 0 -0 +f(x) 单调递增 16单调递减 -16单调递增因此，当 x ＝－ 2 时， f(x) 有极大值为 16 ；当 x ＝ 2 时， f(x) 有极小值为 f(2) ＝－ 16.规律总结 求可导函数 f(x) 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 f′(x) ；(3) 求方程 f′(x) ＝ 0 的根；(4) 检验 f′(x) 在方程 f′(x) ＝ 0 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近 f′(x) ＞ 0 ，右侧附近 f′(x) ＜ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近 f′(x) ＜ 0 ，右侧附近 f′(x) ＞ 0 ，那么函数 y ＝ f(x) 在这个根处取得极小值．变式训练 1 求函数 f(x) ＝ x2ex的极值．【解析】 函数的定义域为 R ， f′(x) ＝ 2xex＋ x2ex＝x(x ＋ 2)ex. 令 f′(x) ＝ 0 ，解得 x ＝－ 2 或 x ＝ 0. 当 x 变化时， f′(x) ， f(x) 的变化情况如下表：x ( －∞，－ 2) -2( － 2 ， 0)0(0 ， +∞)f′(x) + 0 -0 +f(x) 单调递增 4e-2 单调递减 0单调递增因此，当 x ＝－ 2 时， f(x) 有极大值 f( － 2) ＝ 4e－ 2 ；当 x ＝ 0 时， f(x) 有极小值 f(0) ＝ 0.利用函数极值求参数的问题 已知函数 f(x) ＝ ax3 ＋ bx2 －3x 在 x ＝ ±1 处取得极值，试讨论 f(1) 和 f( － 1) 是函数的极大值还是极小值．分析 本题考查函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质的方法．首先借助极值点求出函数的解析式，再利用导数求出函数的极值．解 f′(x) ＝ 3ax2 ＋ 2bx － 3. 依题意得 f′(1) ＝f′( － 1) ＝ 0 ，即 解得∴f(x) ＝ x3 － 3x ， f′(x) ＝ 3x2 － 3 ＝ 3(x ＋ 1)(x－ 1) ．令 f′(x) ＝ 0 ，...