第 八 节 曲线与方程 ( 理 ) 考纲解读 1．了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系． 2．对直线与曲线的位置关系能用数形结合的思想解题． 考向预测 1．用直接法、定义法求轨迹方程． 2．用相关点法求轨迹方程． 3．考查方式可以是选择题或解答题． 4．以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，同时考查平面向量、函数、数列、导数、不等式等综合知识． 知识梳理 1．曲线的方程与方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的 ； (2)以这个方程的解为坐标的点 ，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)． 解 都在曲线上 2．平面解析几何研究的两个主要问题 (1)根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2)通过曲线的方程研究曲线的性质． 3．求曲线方程的一般方法(五步法) 求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤： (1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M |p(M )}； (3)用坐标表示条件 p(M )，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 4．两曲线的交点 (1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 ，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组 ，两条曲线就没有交点． (2)两条曲线有交点的 条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题． 公共解 无解 充要 5．求曲线轨迹方程的常用方法 (1)直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，直接表述成含 x，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法． (2)定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法． (3)代入法 又称相关点法，其特点是，动点 M (x，y)的坐标取决于已知曲线 C 上的点(x′，y′)的坐标，可先用 x，y 来表示x′，y′，再代入曲线 C 的方程，即得点 M 的轨迹方程． 6．圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值 e，当 时，圆锥曲线为双曲线；...
