第八章 向量的数量积与三角恒等变换8
1 两角和与差的余弦学习目标1
经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用
能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式
会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的 求值、化简
重点：应用两角和与差的余弦公式求值、化简、证明
难点：两角差的余弦公式的推导及两角和与差的余弦 公式的综合应用
知识梳理一、两角差的余弦公式cos（𝛼− 𝛽）＝cos𝛼 cos𝛽+sin 𝛼 sin𝛽此式称为两角差的余弦公式，通常简记为 Cα-β
提示：（ 1 ）在公式 Cα-β 中， α ， β 对任意角都成立
（ 2 ）公式的结构特征：左边是两角差的余弦，右边是这两角余弦之积与正弦之积的和，口诀记忆为“余余正正，符号不同
”的证明：如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，设 α ， β 的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则P （ cosα ， sinα ）， Q （ cosβ ， sinβ ），因此＝ ，＝
从而有＝（ cosα ， sinα ） · （ cosβ ， sinβ ） ＝ cosαcosβ+sinαsinβ
（ cos α ， sin α ）（ cos β ， sin β ）另一方面，由图可知，存在 k∈Z ，使得〈〉＝ α-β+2kπ 或〈〉＝ β-α+2kπ ，因此 cos 〈〉＝ cos （ α-β ），又因为 || ＝ || ＝ 1 ，所以＝ ||||cos 〈〉＝ cos （ α-β ）
故 cos （ α-β ）＝ cosαcosβ+sinαsinβ
二、两角和的余弦公式思考：在公式 Cα-β 中 α ， β 可以是任意角，由此你能 推出两角和的余弦公式吗
证明：因为 α+β ＝ α- （ -β ），所以 cos （ α+β ）＝
