义务教育课程标准实验教科书SHUXUE 九年级下湖南教育出版社3.1.2 圆周角如图，∠ BAC 有什么特点？·OCBA∠BAC 的顶点 A 在圆上，它的两边都与圆相交 .观察顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角． 圆周角在我们生活中处处可见，比如，我们从团旗上的图案抽象出如图所示图形，图形中就有很多圆周角．E·AODBC 每位同学画一个圆，然后任意画一个圆周角，以及相应的圆心角（它所对的弧也是圆周角所对的弧），量出它们的度数，看它们之间有什么关系？·OACB量出∠ BAC 与∠ BOC 的度数，它们有什么关系？探 究12∠BAC= ∠BOC 与同桌或邻近桌的同学交流，猜测一条弧所对的圆周角与圆心角有什么关系．你能证明这个猜测吗？·AOCB情形一 圆周角的一边通过圆心．如图 圆 O 中，∠ BAC 的一边 AB 通过圆心．从而∠ BOC=∠C+∠BAC =2∠BAC ，由于 OA=OC ，因此∠ C=∠BAC ，12即∠ BAC= ∠BOC12∠BAC= ∠BOC·DAOCB情形二 圆心在圆心角的内部如图，圆 O 在∠ BAC 的内部．作直径 AD ，根据情形一的结果得∠BAD = ————— ，∠DAC = ————— ． = ——————从而∠ BAC=∠BAD+∠DAC= ——————12BOD12DOC12BODDOC12BOC情形三 圆心在圆周角的外部．12A· OBC D定理 2 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．综上所述，我们证明了下述定理：你能证明∠ BAC= ∠BOC 吗？如图，圆心 O 在∠ BAC 的外部．证明 :∵∠BAD= ∠BOD12∠CAD= ∠COD12∴∠BAD － CAD= （∠ BOD-∠COD ）12∴∠BAC= ∠BOC12作直径 AD动脑筋 利用定理 2 ，以及圆心角与所对的弧的关系，你能说出下述结论成立的道理吗？直径（或半圆）所对的圆周角是直角；反之， 90° 的圆周角所对的弦是直径 .A· OBCD·ABCO在同一圆（或相等的圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等 .1. 如图 ,AB 是圆 O 的一条直径 , ∠CAB=65°,求∠ ABC 的度数练习C·BAO解: 因为 AB 是直径所以∠ C = 90°所以△ ABC 为直角三角形∠ABC+ C∠ AB= 90°∠ABC+ C∠ AB= 90° － ∠ CAB = 90° － 65°= 25°C··AOMDB∠ACD 与∠ ABD 相等吗 ? 为什么 ?2. 如图在圆 O 中 , 弦 AB 与 CD 相交于点 M. ∠∠CAB 与∠ CDB 相等吗 ? 为什么 ? ⑶ △ACM 与△ DBM 相似吗 ? 为什么 ?∠ACD=∠ABD同弧所对的圆周角相等 .∠CAB=∠CDB同弧所对的圆周角相等 .∵∠ACD= ∠ ABD∠ CAB=∠CDB∴△ACM∽△DBM
