1第三节刚度矩阵——节点载荷与节点位移之间的关系一、单元刚度矩阵1.单元刚度矩阵单元 e 是在节点力作用下处于平衡。节点 i 的节点力为{R}=RRT（i,j,m 轮换）ixiyi则单元 e 的节点力列阵为{R}e=「RTRTRT]T-ijm-=「RRRRRRT_xiyixjyjxmym_单元应力列阵为{j*=_OCTTT_xyxy_{*}丫{R}*}YJJ[B}tdxdyu*iv*u*v*u*v*jjmm单元虚应变列阵为{2「y*x2假定弹性体的所有节点都产生一虚位移，单元 e 的三个参照式（3-7），则单元虚应变为{*}=[B]{*}作用在弹性体上的外力在虚位移上所做的功为〈*}丁{R}单元内的应力在虚应变上所做的功为：JJ]{*}Y£}tdxdyA根据虚位移原理，可得单元的虚功方程叫*}丫{R}=・・（{*}丫{C>}tdxdyI 丿节故将式（3-1T[D][B]{s}tdxdy[D][B]tdxdy{5}3-27)3-29)k-e=JJ「3-28)3{R*=JJ[B]T{5}tdxdyA简记为「k]e£}=衣}上式表征单元节点力与节点位移之间的关系，称为单元刚度方程（单元平衡方程）其中[k]e称之为单元刚度矩阵（简称为单刚），是 6x6 矩阵。如果单元的材料是均质的，矩阵[D]中的元素也是常量，且在三角形常应变的情况下，矩阵[B]中的元素也是常数，当单元的厚度也是常数时，注意到dxdy=A,于6xk♦♦iik♦♦jikmik♦♦ijkimkjmkmr]其中任一子块 krs（r，s=i，j，m）3-31)是一个 2X2 子矩阵,LkLB][D](B〕At(r,s=i,j,m)-k]=「B[仃 D]「B]At-rs」「r」「」Ls」s1—卩bb+ccrs—2—rs71—卩 7|LXcb+be|Lxbe+1“ebrs—2—rs1—卩77ee+bb(r,s=i,j,m)3-32)4是单元刚度矩阵可简化为~k『=[B]T[D][B]At（3-30）将单元刚度矩阵按节点号写成分块矩阵形式：rs1）对于平面应力问题将[B]和平面应力问题的弹性矩阵[D]代入，得ke1=E(1-也+2(1—^)gi—crbs+2(1 络件 csb心+2(1—齢g+2(1—^)brbs(r,s=i，j，m3-（注：是将式（3-32）中的 E,卩分别换成—和上）1—卩 21_p2.单元刚度矩阵的性质「k］e的物理意义1UiViUjVjUm、V‘[kll-k21一k31-k41一k51__k61k12-kk22」kk32k42-k52-k62-「k13kLk23kk33kLk4k14_k24-kk34kk44」k54-k64~k15_k25「k35_k45k16「 k26-k36-k46-k56_uiviujvjum、v‘52）对于平面应变问题将［B］和平面应变问题的弹性矩阵［D］代入，得3-29）可完整写为可见每个节点在 x 和 y 方向上有二个平衡方程，3 个节点共有六个平衡方程。单元刚度矩阵k］e 中的任一元素称为刚度系数，其物理意义为：k当单元的第 j 个节点有单位位移，而其它节点位移为ij零时，需在单元第 i 个节点位移方向上施加的节点力的大小...
