含参数的一元二次方程的整数根问题测试卷对于一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0) 的实根情况，可以用判别式 Δ=b2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根， 那么就没有统一的方法了， 只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．本讲结合例题来讲解一些主要的方法．例 1 m是什么整数时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x ＋72＝0 有两个不相等的正整数根．解法 1 首先， m2-1 ≠0，m≠± 1．Δ =36(m-3)2＞0，所以 m≠3．用求根公式可得由于 x1，x2是正整数，所以m-1=1，2，3，6，m+1=1，2，3，4，6，12，解得 m=2．这时 x1=6，x2=4．解法 2 首先， m2-1≠0，m≠± 1．设两个不相等的正整数根为x1，x2，则由根与系数的关系知所以 m2-1=2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72，即m2＝3，4，5，7，9，10，13，19，25，37，73，只有 m2=4，9，25 才有可能，即 m=±2，± 3，±5．经检验，只有 m=2时方程才有两个不同的正整数根．说明 一般来说，可以先把方程的根求出来( 如果比较容易求的话 ) ，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题， 解法 1 就是这样做的． 有时候也可以利用韦达定理， 得到两个整数， 再利用整除性质求解，解法 2 就是如此，这些都是最自然的做法．例 2 已知关于 x 的方程a2x2-(3a2-8a)x ＋2a2-13a ＋15=0 ( 其中 a 是非负整数 ) 至少有一个整数根，求a 的值．分析 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根， 一个不是整数根． 我们也可以像上题一样， 把它的两个根解出来．解 因为 a≠0，所以所以所以只要 a 是 3 或 5 的约数即可，即 a=1，3，5．例 3 设 m是不为零的整数，关于x 的二次方程mx2-(m-1)x ＋1＝0 有有理根，求 m的值．解 一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ =(m-1)2-4m＝n2，其中 n 是非负整数，于是m2-6m+1=n2，所以 (m-3)2-n2=8 ，(m-3＋n)(m-3-n) ＝8．由于 m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3) 是偶数，所以 m-3＋n 与 m-3-n 同奇偶，所以说明 一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数， 然后利用平方数的性质、 解不定方程等手段可以将问题解决．例 4 关于 x 的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一个整数解，且a...
