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137 / 9 §7.5 可积性理论设 f 是有限闭区间 [ , ]a b 上地有界函数 ,1{[,]:1,2,, }kkxxkn是[ , ]a b 地分割 , 其分点为0ax12nxxxb . 振幅 记11sup ([ , ]),inf([ , ]),sup ([,]),inf([,])kkkkkkMfa bmfa bMfxxmfxx；称Mm为 f 在[ , ]a b 上地振幅 ,kkkMm 为 f 在1[,]kkxx上地振幅,1,2,,kn . 上和与下和称11(, )()nkkkkS fMxx为 f 关于分割地上和； (,)S f11()nkkkkm xx为 f 关于分割地下和；任取121( ,,,),[,]nkkkxx, (1,2,, )kn , 称11( , , )()()nkkkkS ffxx为 f 关于分割地 Riemann 和. 显然成立( , )S f( , , )S f(,)S f. 定理 7.12 设 f 是有限闭区间 [ , ]a b 上地有界函数 ,是 [ , ]a b 地分割 .若在地分点地基础上再添加l 个分点而得到 [ , ]a b 地另一个分割,则有不等式(, )(,)(,)S fS fS fl；(,)(,)(, )S fS fS fl. 作为推论 , 对于 [ , ]a b 地任意两个分割12,, 必有12(,)(,)S fS f. 证: 只需证明1l地情形 . 设地分点为012naxxxxb ；地为00011kknaxxxyxxb . 11(,)()nkkkkS fmxx00000111111()()()knkkkkkkkkkkk kmxxmxxmxx138 / 9 000000111111()()()()knkkkkkkkkkkkk kmxxmyxmxymxx0000011111()inf([, ])()inf([,])()kkkkkkkkkmxxfxyyxfy xxy011()(,)nkkkk kmxxS f00000111111()()()knkkkkkkkkkkkkmxxMxxmxx0000 1(, )()()kkkkS fMmxx(,)S f. 同理可证( , )( ,)( , )S fS fS f. 将12,地分点合起来得到 [ , ]a b 地另一个分割3, 则有1332(,)(,)(,)(,)S fS fS fS f. □上积分和下积分设 f 是有限闭区间 [ , ]a b 上地有界函数 . 称()inf{(, ):IfS f是[ , ]a b 地分割 }为 f 在 [ , ]a b 上地(Darboux) 上积分；称()sup{ (, ):IfS f是[ , ]a b 地分割 }为 f 在 [ , ]a b 上地(Darboux) 下积分 . 显然 , [ , ]a b 上有界函数 f 地上积分()If 和下积分()I f都存在 , 并且()()IfIf. 定理 7.13(Darboux 定理 ) 若 f 是有限闭区间 [ , ]a b 上地有界函数 , 则0lim(,)()S fIf,0lim(,)()S fI f. 证: 0, 存在 [ , ]a b 地分割0 使得0(,)()2S fIf. 假定分割0地小区间个数为1l. 对于 [ , ]a b 地任意分割, 将0 和地分点合起139 / 9 来得到 [ , ]a b 地另一个分割. 显然比最...