第四节基本不等式【最新考纲】1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题．1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b 时等号成立．(3)其中a＋b2称为正数a，b 的算术平均数 ，ab称为正数 a，b的几何平均数 ．2．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b2 ，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y∈(0，＋∞ )，且 xy＝P(定值)．那么当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 P.(简记：“积定和最小” ) (2)如果 x，y∈(0，＋∞ )，且 x＋y＝S(定值)．那么当 x＝y 时，xy 有最大值 S24 .(简记：“和定积最大”) 4．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)ba＋ab≥2(a，b 同号)．(3)ab≤ a＋b22(a，b∈R)．(4)a2＋b22≥ a＋b22(a，b∈R)．1．(质疑夯基 )判断下列结论的正误． (正确的打“√”，错误的打“×” ) (1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2.() (2)函数 f(x)＝cos x＋4cos x，x∈ 0，π2 的最小值等于 4.() (3)x>0，y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件． () (4)若 a>0，则 a3＋ 1a2的最小值为 2 a.() 答案： (1)×(2)×(3)×(4)×2．设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为 () A．80B．77C．81D．82 解析：xy≤ x＋y22＝ 1822＝81，当且仅当 x＝y＝9 时等号成立．答案： C 3．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是() A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 ab C.1a＋1b> 2abD.ba＋ab≥2 解析： a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误．对于 B，C 当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ab>0，∴ba＋ab≥2 ba· ab＝2.答案： D 4．(2015 ·福建卷 )若直线 xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则 a＋b的最小值等于 () A．2 B．3 C．4 D．5 解析： 因为直线 xa＋yb＝1(a>0，b>0)过点 (1，1)，所以 1a＋1b＝1，所以 a＋b＝(a＋b) 1a＋1b ＝2＋ab＋ba≥2＋2 ab· ba＝4(当且仅当a＝b＝2 时取等号 )．答案： C 5．一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为 ________m，宽为________m时菜园面积最大．解析： 设矩形的长为 x m，宽为 y m．则 x＋2y＝30，所以 S＝xy＝12x· (2y)≤12x＋2y2...
