第二讲 证明不等式的基本方法2 . 1 比 较 法 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接作差比较法证明不等式(1) 已知 a , b∈R ,求证: a2 + b2 + 1 > a(b + 1) ;(2) 已知 a , b 是互不相等的正数, n > 1 ,求证:an + bn > an - 1b + abn - 1.分析:用作差比较法证明不等式,作差后要注意因式分解或配方,以利于判断符号. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证明: (1) a2 + b2 + 1 - a(b + 1) =[(a - b)2 + (1 - a)2 + b2 + 1] > 0 ,∴a2 + b2 + 1 > a(b + 1) .(2)(an + bn) - (an - 1b + abn - 1) = (a - b)(an - 1- bn - 1) . a , b∈R +, n > 1 , n - 1 > 0 , a≠b ,∴ 当 a > b 时, an - 1 > bn - 1 ,∴a - b > 0 , an - 1 - bn - 1 > 0 ,∴(a - b)(an - 1 - bn - 1) > 0 ,即 an + bn > an - 1b + abn - 1. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接当 a < b 时, an - 1 < bn - 1 ,∴a - b < 0 , an - 1 - bn - 1 < 0 ,∴(a - b)(an - 1 - bn - 1) > 0 ,即 an + bn > an - 1b + abn - 1.因此总有 an + bn > an - 1b + abn - 1.点评:作差比较法的一般步骤为:作差→变形 ( 因式分解或配方 )→ 判断符号→下结论,有时需要分类讨论. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 设 a , b , c∈R +,且 ab + bc + ca = 1 ,求证:a + b + c≥.分析:要证 a + b + c≥ ,只要证 (a + b + c)2≥3 ,然后再用差比法.证明:因为 (a + b + c)2 - 3= (a + b + c)2 - 3(ab + bc + ca)= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca= [(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]≥0 ,所以 (a + b + c)2≥3.又 a , b , c∈R +, a + b + c> 0 ,所以 a + b + c≥. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接► 变式训练1 .已知正数 a , b , c 成等比数列,求证: a2 - b2 + c2≥(a - b + c)2.证明:...