第二讲 证明不等式的基本方法2 ． 1 比 较 法 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接作差比较法证明不等式(1) 已知 a ， b∈R ，求证： a2 ＋ b2 ＋ 1 ＞ a(b ＋ 1) ；(2) 已知 a ， b 是互不相等的正数， n ＞ 1 ，求证：an ＋ bn ＞ an － 1b ＋ abn － 1.分析：用作差比较法证明不等式，作差后要注意因式分解或配方，以利于判断符号． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接证明： (1) a2 ＋ b2 ＋ 1 － a(b ＋ 1) ＝[(a － b)2 ＋ (1 － a)2 ＋ b2 ＋ 1] ＞ 0 ，∴a2 ＋ b2 ＋ 1 ＞ a(b ＋ 1) ．(2)(an ＋ bn) － (an － 1b ＋ abn － 1) ＝ (a － b)(an － 1－ bn － 1) ． a ， b∈R ＋， n ＞ 1 ， n － 1 ＞ 0 ， a≠b ，∴ 当 a ＞ b 时， an － 1 ＞ bn － 1 ，∴a － b ＞ 0 ， an － 1 － bn － 1 ＞ 0 ，∴(a － b)(an － 1 － bn － 1) ＞ 0 ，即 an ＋ bn ＞ an － 1b ＋ abn － 1. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接当 a ＜ b 时， an － 1 ＜ bn － 1 ，∴a － b ＜ 0 ， an － 1 － bn － 1 ＜ 0 ，∴(a － b)(an － 1 － bn － 1) ＞ 0 ，即 an ＋ bn ＞ an － 1b ＋ abn － 1.因此总有 an ＋ bn ＞ an － 1b ＋ abn － 1.点评：作差比较法的一般步骤为：作差→变形 ( 因式分解或配方 )→ 判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接 设 a ， b ， c∈R ＋，且 ab ＋ bc ＋ ca ＝ 1 ，求证：a ＋ b ＋ c≥.分析：要证 a ＋ b ＋ c≥ ，只要证 (a ＋ b ＋ c)2≥3 ，然后再用差比法．证明：因为 (a ＋ b ＋ c)2 － 3＝ (a ＋ b ＋ c)2 － 3(ab ＋ bc ＋ ca)＝ a2 ＋ b2 ＋ c2 － ab － bc － ca＝ [(a － b)2 ＋ (b － c)2 ＋ (c － a)2]≥0 ，所以 (a ＋ b ＋ c)2≥3.又 a ， b ， c∈R ＋， a ＋ b ＋ c＞ 0 ，所以 a ＋ b ＋ c≥. 学习目标 预习导学 典例精析 栏目链接► 变式训练1 ．已知正数 a ， b ， c 成等比数列，求证： a2 － b2 ＋ c2≥(a － b ＋ c)2.证明：...
