第 13 章 全等三角形微专题 3 如何构造全等三角形 专题解读 本章常用的辅助线的添加方法有：连结法、中线倍长法、截长补短法、作垂线法和作平行线法．实际解题的过程中，要依据题目的条件选择合适的辅助线添加方法，将条件和求证结合起来． 图① 图② 图③ “倍长中线法”是利用中点的有效方法，如图①，D 是 BC 的中点，AD＝DE，则有△ABD≌△ECD. 如图②，AB＞AC，“截长法”就是在 AB 上截取 AD＝AC；补短法就是延长 AC 到 E，使 AE＝AB；通过这样的截长或补短，可以把分散的条件集中起来，为证明线段(或角)的和、差、倍、分提供支持． 如图③，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，通过连结AC、AD，构造△ ABC△AED. 专题训练 类型1 “倍长中线法”构造全等三角形 1. 如图，四边形中，AB∥ CD，O是BD的中点，且AB＋CD＝AC，求证：AO⊥OC. 证明：延长CO交AB的延长线于点E， OB＝OD，可证△ OCD△OEB， ∴OC＝OE，BE＝CD. 再证△ AOC△AOE(S. S. S. )， ∴∠AOC＝∠AOE＝180°2 ＝90°. ∴AO⊥OC. 类型2 “连结法”构造全等三角形 2. 如图，在△ ABC中，D为BC中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DE＝DF. 求证：AB＝AC. 证明：连结 AD， DE⊥AB， DF⊥AC，∴△ADE 与△ADF 都是直角三角形． AD＝AD，DE＝DF. Rt∴△ADERt≌△ADF(H. L. )． ∴AE＝AF. 同理：Rt△BDERt≌△CDF(H. L. )． ∴BE＝CF， ∴AE＋BE＝AF＋CF，∴AB＝AC. 3.如图，在△ ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D. 求证：2∠ ＝1∠ ＋∠C. 类型 3 “翻折法”构造全等三角形解：如图，延长AD交BC于点F. (相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，A点落在F点处，折痕为BE) BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°. 在△ ABD和△ FBD中， ∠ABD＝∠FBD，BD＝BD，∠ADB＝∠FDB＝90°， ∴△ ABD≌△FBD(A. S. A. )． 2∴∠ ＝∠DFB. 又 ∠DFB＝1∠ ＋∠C， 2∴∠ ＝1∠ ＋∠C. 类型4 “基本图形法”构造全等三角形 4. 如图，在Rt△ ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连结DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. 证明：如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G. ∠ACB＝90°， 2∴∠ ＋∠ACF＝90°， CE⊥AD，∴∠AEC＝90°， 1∴∠ ＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°，1∴∠ ＝2∠ . 在△ AC...
