直线和平面三垂线定理 这是偶然的巧合，还是必然？EMDBOAAE⊥OD？cos·cos=cos=AOB∠ =AOD∠ =DOB∠AaOPPO ⊥ a？ AaOP 已知 PA 、 PO 分别是平面的垂线、斜线， AO 是 PO在平面上的射影。 a ， a⊥AO 。求证： a⊥PO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理 AaOP证明：a⊥POPA⊥ a AO⊥aa⊥ 平面 PAOPO 平面 PAOPA ⊥a 三垂线定理 ：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。AaOP证明：a⊥POPA⊥ a AO⊥aa⊥ 平面 PAOPO 平面 PAOPA ⊥a PCBAO例 1 已知 P 是平面 ABC 外一点， PA⊥ 平面 ABC ， AC ⊥ BC ， 求证： PC ⊥ BC证明： P 是平面 ABC 外一点 PA⊥ 平面 ABC ∴PC 是平面 ABC 的斜线 ∴AC 是 PC 在平面 ABC 上的射影 BC 平面 ABC 且 AC ⊥ BC ∴ 由三垂线定理得 PC ⊥ BCM 例 2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1) PA⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点求证： PO⊥BD ， PC⊥BD(3) 在正方体 AC1 中，求证： A1C⊥B1D1 ， A1C⊥BC1(2) 已知： PA⊥ 平面 PBC ， PB=PC ， M 是 BC 的中点，求证： BC⊥AMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1) PA⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点，求证： PO⊥BD ， PC⊥BDPOABCD证明 : ABCD 为正方形 O 为 BD 的中点 ∴ AO⊥BD又 AO 是 PO 在 ABCD 上的射影PO⊥BD 同理， ACBD⊥ AO 是 PO 在 ABCD 上的射影PC⊥BD PMCAB(2) 已知： PA⊥ 平面 PBC ， PB=PC ， M 是 BC 的中点， 求证： BC⊥AMBC⊥AM证明 : PB=PCM 是 BC 的中点PM BC⊥ PA⊥ 平面 PBC∴PM 是 AM 在平面 PBC 上的射影(3) 在正方体 AC1 中，求证： A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1 在正方体 AC1 中 A1B1⊥ 面 BCC1B1 且 BC1 ⊥B1C ∴B1C 是 A1C 在面 BCC1B1 上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明： C B A1B1 C1A D D1同理可证， A1C⊥B1D1由三垂线定理知 A1C⊥BC1 PMCABPAO aαA1 C1 C B B1OAαaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾，怎么找？ 三垂线...
