北京四中2012-2013年度第一学期高三年级期中数学试题及答案（文）第一部分（选择题，共40分）一、选择题：（每小题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.“”是“”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.是等差数列的前项和，若，则（）A.15B.18C.9D.124.设为两个平面，为两条直线，且，有如下两个命题：①若；②若.那么（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①、②都是真命题D．①、②都是假命题5.若是所在平面内的一点，且满足(BO+OC)•(OC-OA)=0，则一定是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.斜三角形6．将函数的图象按向量平移后得到图象对应的函数解析式是（）A．B．C．D．7．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A．B．C．D．8.已知函数，给出下列四个说法：①若，则；②的最小正周期是；③在区间上是增函数；④的图象关于直线对称．其中正确说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9.函数的递增区间是______.10.向量，满足，且，，则，夹角的余弦值等于______.11．已知函数的最小正周期是，则正数______.12．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12cm，深2cm的空穴，则该球的半径是______cm，表面积是______cm².13．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是______.14.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15.（本小题满分13分）在中，，.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）设，求的面积.16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数图象的对称轴方程；（Ⅱ）求的单调增区间；（Ⅲ）当时,求函数的最大值,最小值.17.（本小题满分13分）如图，正三棱柱中，D是BC的中点，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.（本小题满分13分）已知各项都不相等的等差数列的前六项和为60，且的等比中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和19.（本小题满分14分）已知函数处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若当恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）对任意的是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由.20.（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.【参考答案】第一部分（选择题，共40分）一、选择题（每小题5分，共40分）1.B2.B3.D4.D5.C提示：由题意可知，BC•AC=0，即BC⊥AC.6.D提示：沿向量平移，即先向右平移个单位，再向上平移1个单位.7.B8.B提示：先化简f(x)可得，f(x)=，再利用它的图象和性质解决问题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）9.提示：注意定义域.10.12011.2提示：利用图象的对称变换，可知该函数的周期为.12.10，400π提示：设球的半径为r，画出球与水面的位置关系图，如图：由勾股定理可知，，解得r=10.13.14.n(3n+1)π提示：设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由，，得，所以…3分6分且，故…7分（Ⅱ）解：据正弦定理得，…10分所以的面积为……13分16.（本小题13分）解：（I）.…3分令.∴函数图象的对称轴方程是……5分（II）故的单调增区间为…8分(III),……10分.…11分当时,函数,最小值为.13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明： ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面ABC，∴BD是B1D在平面ABC上的射影在正△ABC中， D是BC的中点，∴AD⊥BD，根据三垂线定理得，AD⊥B1D（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1=E，连接DE. AA1=AB∴四边形A1ABB1是正方形，∴E是A1B的中点，又D是BC的中点，∴DE∥A1C.…………………………7分 DE平面AB1D...
