正方形 21 ．正方形的定义由正方形的定义可知， 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形。如图 (1) 。 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。温故知新例 1 如图， ABCD 是正方形，点 G 是 BC 上的任意一点， DEAG⊥于 E ， BFDE∥，交 AG于 F ．求证： AF=BF+EF ．例题精讲例 2 如图，在△ ABC 中，点 D 是边 BC 的中点， DEAC⊥、 DFAB⊥，垂足分别是E 、 F ，且 BF=CE ．（ 1 ）求证： DE=DF ；（ 2 ）当∠ A=90° 时，试判断四边形 AFDE是怎样的四边形，并证明你的结论．例题精讲（ 1 ）证明：∵ DEAC⊥， DFAB⊥， ∴∠BFD=CED=90°∠， 在 RtBDF△和 RtCDE△中， ∵ BD=CD BF=CF ， ∴RtBDFRtCDE△≌△（ HL ）∴ DE=DF ；（ 2 ）答：四边形 AFDE 是正方形．理由如下： ∵∠A=90° ， DEAC⊥， DFAB⊥， ∴ 四边形 AFDE 是矩形， 又∵ DF=DE ，∴四边形 AFDE 是正方形．例题精讲1 、如图，正方形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于 O ， MNAB∥且 MN 分别交 OA 、 OB于 M 、 N ，求证： BM ＝ CN 。 分析：1. 要证明 BM ＝ CN ，观察图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? AB ＝ BC ，∠ 1 ＝∠ 2 ＝ 45 ° 3. 还需要的条件是 AM ＝ BN△ABMBCN≌△2. 由正方形可以得到的条件有：巩固提高 2 、如图 1 ，两个不全等的四边形 ABCD 、四边形 CGFE 是正方形，连接 BG ， DE ．交 DC 于 H ，交 CG 于 K ：观察图形，①猜想 BG 与 DE 之间长度关系；②猜想 BG 与 DE 所在直线的位置关系，并证明你的猜想．巩固提高3 、如图，在 AB 上取一点 C ，以 AC 、 BC 为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC和 BCFG 连结 AF 、 BD 延长 BD 交 AF 于H 。求证： (1) ACFDCB△≌△；(2) BHAF⊥。 巩固练习 如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ C=90° ， AC=8 ， F 是 AB 边上的中点，点 D ， E 分别在 AC ， BC边上 运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ， DF ， EF ．在此 运动变化的过程中，（ 1 ）求证： △ DFE 是等腰直角三角形（ 2 ）当 D 、 E 运动到何处时，四边形 CDFE 为正方形，请说明理由。思维拓展 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？与你的同学交流一下。BCDA学以致用1 、如图，在一正方形 ABCD 中． E 为对角线AC 上一点，连接 EB 、 ED ，（ 1 ）求证：△ BECDEC≌△；（ 2 ）延长 BE 交 AD 于点 F ，若∠ DEB=140° ．求∠ AFE 的度数．巩固练习
