1初二数学经典难题1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=PDA=15°∠．求证：△PBC是正三角形．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。1170875专题：证明题。分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，根据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，根据SAS证出△DGCPGC≌△，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可．解答：证明： 正方形ABCD，AB=CD∴，∠BAD=CDA=90°∠，PAD=PDA=15° ∠∠，PA=PD∴，∠PAB=PDC=75°∠，在正方形内做△DGC与△ADP全等，DP=DG∴，∠ADP=GDC=DAP=DCG=15°∠∠∠，PDG=90°15°15°=60°∴∠﹣﹣，PDG∴△为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），DP=DG=PG∴，DGC=180°15°15°=150° ∠﹣﹣，PGC=360°150°60°=150°=DGC∴∠∠﹣﹣，在△DGC和△PGC中，DGCPGC∴△≌△，PC=AD=DC∴，和∠DCG=PCG=15°∠，同理PB=AB=DC=PC，PCB=90°15°15°=60°∠﹣﹣，PBC∴△是正三角形．点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求．22．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=F∠．考点：三角形中位线定理。1170875专题：证明题。分析：连接AC，作GNAD∥交AC于G，连接MG，根据中位线定理证明MGBC∥，且GM=BC，根据AD=BC证明GM=GN，可得∠GNM=GMN∠，根据平行线性质可得：∠GMF=F∠，∠GNM=DEN∠从而得出∠DEN=F∠．解答：证明：连接AC，作GNAD∥交AC于G，连接MG．N 是CD的中点，且NGAD∥，NG=∴AD，G是AC的中点，又∴M是AB的中点，MGBC∴∥，且MG=BC．AD=BC ，NG=GM∴，GNM△为等腰三角形，GNM=GMN∴∠∠，GMBF ∥，GMF=F∴∠∠，GNAD ∥，GNM=DEN∴∠∠，DEN=F∴∠∠．点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明△GNM为等腰三角形．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．3考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质。1170875专题：证明题。分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证RtAERRtCAT△≌△，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足依次为R，S，T，Q，则ERPQFS∥∥，P 是EF的中点，∴Q为RS的中点，PQ∴为梯形EFSR的中位线，PQ=∴（ER+FS），AE=AC （正方形的边长相等），∠AER=CAT∠（同角的余角相等），∠R=ATC=90°∠，RtAERRtCAT∴△≌△（AAS），同理RtBFSRtCBT△≌△，ER=AT∴，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB∴，PQ=∴AB．点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=PDA∠．求证：∠PAB=PCB∠．考点：四点共圆；平行四边形的性质。1170875专题：证明题。分析：根据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，利用ADEP∥，ADBC∥，进而得出∠ABP=ADP=AEP∠∠，得出AEBP共圆，即可得出答案．4解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使PE=AD=BC，ADEP ∥，ADBC∥．∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，AEDP∴∥，BEPC∥，ABP=ADP=AEP∴∠∠∠，可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）．可得∠BAP=BEP=BCP∠∠，PAB=PCB∴∠∠．点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。1170875专题：综合题。分析：把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CFBE⊥于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后...
