用心想一想，马到功成 如图， A 、 B 表示两个仓库，要在 A 、 B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置 ? AB线段垂直平分线的性质： 定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等．已知：如图，直线 MNAB⊥，垂足是 C ，且 AC=BC ，P 是 MN 上的点．求证： PA=PB ．NAPBCM证明：∵ MNAB⊥， ∴∠PCA=PCB=90°∠ ∵AC=BC ， PC=PC, ∴△PCAPCB(SAS) ≌△； ∴PA=PB( 全等三角形的对应边相等 ) ．用心想一想，马到功成你能写出上面这个定理的逆命题吗 ? 它是真命题吗 ? 如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ．求证： P 点在 AB 的垂直平分线上．证明：过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC ， PA=PB ， PC=PC ， ∴Rt PACRt PBC(HL)△≌△． ∴AC=BC ， 即 P 点在 AB 的垂直平分线上．CBPA证法二：取 AB 的中点 C ，过 P,C 作直线． ∵AP=BP ， PC=PC.AC=CB ， ∴△APCBPC(SSS)≌△． ∴∠PCA=PCB(∠全等三角形的对应角相等 ) ． 又∵∠ PCA+PCB=180°∠， ∴∠PCA=PCB=90°∠∠，即 PCAB ⊥ ∴P 点在 AB 的垂直平分线上．CBPA已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ．求证： P 点在 AB 的垂直平分线上．CBPA已知：线段 AB ，点 P 是平面内一点且 PA=PB ．求证： P 点在 AB 的垂直平分线上．证法三：过 P 点作∠ APB 的角平分线交 AB 于点 C ． ∵AP=BP ，∠ APC=BPC∠， PC=PC ， ∴△APCBPC(SAS)≌△． ∴AC=BC ，∠ PCA=PCB∠ 又∵∠ PCA+PCB=180°PCA=PCB=90°∠∴∠∠ ∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上．线段垂直平分线的判定： 定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．想一想，做一做已知：如图 1-18 ，在 △ ABC 中， AB = AC ， O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC ．课堂小结 , 畅谈收获：一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．补充练习： 1 ．已知：△ ABC 中，边 AB 、 BC 的垂直平分线相交于点 P ．求证：点 P 在 AC 的垂直平分线上． 2 ．如图，求作一点 P ，使 PA=PB ， PC=PDABCD
