数学 第三章 导数应用 3.1.2 函数的极值课件 北师大版选修2 2 课件VIP免费

1.2 函数的极值1. 函数的极值(1) 极大值：在包含 x0 的一个区间 (a ， b) 内，函数y=f(x) 在任何一点的函数值都小于或等于 x0 点的函数值，则称点 x0 为函数 y=f(x) 的极大值点，其函数值f(x0) 为函数的极大值 .(2) 极小值：在包含 x0 的一个区间 (a ， b) 内，函数y=f(x) 在任何一点的函数值都大于或等于 x0 点的函数值，则称点 x0 为函数 y=f(x) 的极小值点，其函数值f(x0) 为函数的极小值 .(3) 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 .【思考】(1)“ 函数在某个区间的极值只有一个”，对吗？提示：一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个 . 如函数 y=sin x 在区间 [-2π ，2π] 上有两个极大值，两个极小值 .(2) 函数的极大值一定大于函数的极小值吗？提示：函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值 . 如图所示，函数 f(x) 的极小值 f(x4) ，极大值 f(x1) ，且 f(x4)>f(x1).2. 求函数 y=f(x) 的极值的步骤(1) 求出导数 f′(x).(2) 解方程 f′(x)=0.(3) 对于方程 f′(x)=0 的每一个解 x0 ，分析 f′(x)在 x0 左、右两侧的符号 ( 即 f(x) 的单调性 ) ，确定极值点：① 若 f′(x) 在 x0 两侧的符号为“左正右负”，则 x0为极大值点；② 若 f′(x) 在 x0 两侧的符号为“左负右正”，则 x0为极小值点；③ 若 f′(x) 在 x0 两侧的符号相同，则 x0 不是极值点 .【思考】导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗？提示：导数值为 0 的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况 . 【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 在可导函数的极值点处，切线与 x 轴平行 .( )(2) 函数 f(x)= 无极值 .( )(3) 定义在 [a ， b] 上的连续函数 f(x) 若有极值 f(x0) ，则 x0∈(a ， b). ( )1x【解析】 (1)×. 切线也可能与 x 轴重合 .(2)√. 由于 f(x)= 在 (-∞ ， 0) ， (0 ， +∞) 上单调递减，所以函数没有极值 .1x(3)√. 由于函数的极值点一定是其导函数的变号零点，所以定义在 [a ， b] 上的连续函数 f(x) 若有极值f(x0) ，则 x0∈(a ， b) ，极值点不可能在区间的端点处取到 .2. 下列结论中正确的是( )A. 导数为零的点一定是极值点B. 如果在 x0 附近的左侧 f ′(...