北京市东城区2013届高三理科数学综合练习一试题详细解析2012.12一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集，集合，，则为A.B.C.D.2.是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若，则下列各式正确的是15、B.C.D.4.在等差数列中，，且，则的最大值是A.B.C.D.5.如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.下列命题中，真命题是A.B.C.D.7.已知为双曲线：的左、右焦点，点在上，，则到轴的距离为17、B.C.D.8.设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。请将答案填写在答题卡相应位置。23正视图俯视图3侧视图29.已知，则▲.10.函数在区间上存在一个零点，则实数的取值范围是▲.11.由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为▲.12.正三角形边长为，设，则▲.13.已知命题：是奇函数；。下列函数：①，②，③中能使都成立的是▲.（写出符合要求的所有函数的序号）14.有如下两个集合：集合，集合，设集合是所有的并集，则的面积为▲.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、演算过程和步骤。15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）函数的图像经过怎样的变换可以得到的图像？16.（本小题满分13分）已知数列的前项和为，数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直，分别是的中点，AOSFBCE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若点在线段上，问：无论在的何处，是否都有？请证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值.18.（本小题满分13分）椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设的三条边所在直线的斜率分别为，且若直线的斜率之和为0，求证：为定值.19.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）对，不等式恒成立，求的取值范围.20.（本小题满分14分）将所有平面向量组成的集合记作，是从到的映射，记作或，其中都是实数.定义映射的模为：在的条件下的最大值，记作若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，计算的特征值，并求相应的；（Ⅲ）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个映射，满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件.【试题答案】1.C【解析】,所以.2.A【解析】当时，，恒成立，当时，由得，，所以是成立的充分不必要条件.3.C【解析】幂函数在时，单调递减，所以A错误。在定义域上不单调，错误。对数函数在定义域上单调递增，所以C正确。指数函数在定义域上单调递减，不正确.4.C【解析】在等差数列中，，得，即，由，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值为9.5.B【解析】由三视图可知这是一个底面矩形的斜四棱柱，其中四棱柱的高为，底面矩形的长为3底面宽为，所以该几何体的体积为.6.D【解析】因为，所以A错误。当时有，所以B错误。，所以C错误。当时，有.7.B【解析】由双曲线的方程可知，在中，根据余弦定理可得,即，所以，所以，所以的面积为,又的面积也等于，所以高，即点P到轴的距离为.8.D【解析】，所以对称轴为，当时，，所以要使互不相等的实数321,,xxx满足)()()(321xfxfxf，则有，不妨设，则有，，，所以，即，所以的取值范围是，。9.【解析】等式两边平方得，即，所以，因为，所以，所以，所以。10.【解析】当时，函数在上没有零点，所以，所以根据根的存在定理可得，即，所以，解得，所以实数a的取值范围是。11.【解析】由，解得，即，所以所求面积为。12.【解析】因为，,所以。13.①②【解析】若，所以为奇函数。成立，所以①满足条件。若，则为奇函数。，所以②成立。若，则不是奇函数，所以③不满足条件，所以使qp,都成立的是①②。14．集合225(,)|()(1)42Axyxy，集合22()(,)|22Bmxyyxmxmm,Rm，...
