第 13 章 全等三角形单元综合复习 ( 三 ) 全等三角形 命题点 三角形全等的判定与应用 1. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重合，连结 BE、EC. 试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC. 证明： AC＝2AB，点 D 是 AC 的中点，∴AB＝AD＝CD. ∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°. EA＝ED，∴△ EAB△EDC. ∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC. ∴∠BEC＝∠AED＝90°. ∴BE＝EC，BE⊥EC. 命题点 尺规作图 2. 已知△ ABC，如图，求作一点 P，使点 P 到 AB、AC 的距离相等，且到边 AC 的两端点距离相等． 解：作法：①作线段 AC 的垂直平分线 MN； ②作∠BAC 的平分线 AO，AO 交 MN 于点 P，点 P即为所求． 命题点 逆命题和逆定理 3. 判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有，说明理由． (1)在一个三角形中，等角对等边； (2)四边形的内角和等于 360°. 解：(1)有逆定理，它的逆定理为：在一个三角形中，等边对等角． (2)有逆定理，它的逆定理为：内角和等于 360°的多边形是四边形． 命题点 等腰三角形的性质与判定 4. 如图，在等腰 Rt△ ABC 中，P 是斜边 BC 的中点，以 P 为顶点的直角的两边分别与边 AB、AC 交于点 E、F，连结 EF. 当∠EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)，△ PEF 也始终是等腰直角三角形，请你说明理由． 解：连结 PA. PA 是等腰△ ABC 底边上的中线，∴PA⊥PC. 又 AB⊥AC，1∴∠ ＝90°－∠PAC，∠C＝90°－∠PAC. 1∴∠ ＝∠C. 同样，由 PA⊥PC，PE⊥PF 可得2∠ ＝3∠ . 在 Rt△ APC 中，∠APC＝90°，∠C＝45°，∴PA＝PC. 在△ PAE 和△ PCF 中，1∠ ＝∠C，PA＝PC，2∠＝3∠ ，∴△ PAE△PCF. ∴PE＝PF. 因此，△ PEF 始终是等腰直角三角形． 命题点 线段垂直平分线与角平分线的综合应用 5. 如图，在直角△ ABC 中，∠C＝90°，∠CAB 的平分线 AD 交 BC 于点 D，若 DE 垂直平分 AB，求∠B 的度数． 解： 在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠CAB 的平分线AD 交 BC 于点 D， ∴∠DAE＝12∠CAB＝12(90°－∠B)， DE 垂直平分AB， ∴AD＝BD，∴∠DAE＝∠B，∴12(90°－∠B)＝∠B...
