四面体的性质不在一直线上的三点可以连成一个三角形，不共面的四点可以连成四个三角形，这四个三角形围成的几何体叫做四面体（如图1）.它有四个顶点，六条棱，四个面. 研究四面体的有关性质可以加深对四面体，空间四边形的知识的理解，有利于提高熟练运用知识的能力. 性质1：四面体中相对的棱所在的直线是异面直线.如图1中 AB 和 CD ，BC 和 AD ，AC 和 BD 都是异面直线 . 性质 2：四面体中， 若一个顶点在对面内射影是这个三角形的垂心，则四面体的三组对棱分别互相垂直. 证明： 如图 2 的四面体中， 设顶点 A 在面 BCD 内的射影 H是BCD△的垂心 . AHBCD平面.连结BH ， CH， DH ，则BHCD ， CHBD ， DHBC .根据三垂线定理得ABCD ， ACBD ， ADBC . 性质 3：四面体中，若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也互相垂直 . 证明：设四面体ABCD 中， ABCD ， ACBD ，过 A 作AHBCD平面， H 为垂足（如图2）.连结 BH，CH ，则 BH 为AB 在平面 BCD 内的射影， 根据三垂线定理的逆定理，BHCD ；同理 CHBD ，所以 H 是BCD△的垂心 .由性质 2 知 ADBC . 根据性质 2,3 立即可以得到：性质 4：四面体中，若一个顶点在它对面内的射影是这个面的中心，则其余各顶点在其对面内的射影也分别是这些面的中心. 利用全等三角形的判定和性质，可以证明下面两条性质：性质 5：四面体中， 若交于同一顶点的三条棱相等，则这个顶点在对面内的射影是这个三角形的外心，且这三条棱和顶点所对面所成的角相等.反之也真 . 特别地，若这个顶点所对的面是一个直角三角形，则这顶点的射影是直角三角形斜边的中点. 性质 6：四面体中， 若一个顶点在对面内的射影是这个三角形的内心，则顶点到对面三角形三条边的距离相等，且以这三角形三角形三条边为棱的三个二面角相等. 图1DCBA图2HDCBA图 3PCBA性质 7：四面体中，若交于同一点的三条棱两两互相垂直，则这个顶点所对面是一个锐角三角形. 证明：如图3，设90APBBPCCPA， PAa ， PBb ， PCc ，不妨设abc≤≤，则222ABab ，222BCbc ，222CAca .显然BC 是ABC△的最大边，BAC 是ABC△中最大内角 .根据余弦定理，有222cos2ABACBCBACAB AC2222222222()()()2abacbcabac222220aabac. 所以90BAC，ABC△是锐角三角形 . 性质 8：四面体中，若交于同一顶点的三条棱分别两两垂直，则这顶点所对的三角形面积的平方等于其余三个三角形面积...
