1 三圆的切线的性质及判定定理[对应学生用书P25] 1． 切线的性质(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图，已知AB 切⊙ O 于 A 点，则 OA⊥AB. (2)推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(3)推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2． 圆的切线的判定方法(1)定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．其中 (2)和 (3)是由 (1)推出的， (2)是用数量关系来判定，而(3)是用位置关系加以判定的．[说明 ]在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25] 圆的切线的性质[例 1]如图，已知∠ C＝ 90°，点 O 在 AC 上， CD 为⊙ O 的直径，⊙ O 切 AB于 E，若 BC＝5， AC＝12.求⊙ O 的半径．[思路点拨 ]⊙O 切 AB 于点 E，由圆的切线的性质，易联想到连接 OE 构造 Rt△ OAE，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．[解]连接 OE， AB 与⊙ O 切于点 E，∴OE⊥ AB，即∠ OEA ＝90°. ∠ C＝90° ，∠ A＝∠ A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴OEBC＝ AOAB. BC＝ 5，AC＝12，∴ AB＝13，∴OE5 ＝ 12－OE13，2 ∴OE＝ 103 . 即⊙ O 的半径为 103 . 利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．1．如图， AB 切⊙ O 于点 B，延长 AO 交⊙ O 于点 C，连接 BC.若∠ A＝40°，则∠ C＝() A．20°B．25°C．40°D．50°解析： 连接 OB，因为 AB 切⊙ O 于点 B，所以 OB⊥AB，即∠ ABO＝90°，所以∠ AOB＝ 50°. 又因为点 C 在 AO 的延长线上，且在⊙O 上，所以∠ C＝12∠AOB＝25° . 答案： B 2.如图，已知PAB 是⊙ O 的割线， AB 为⊙ O 的直径． PC 为⊙ O的切线， C 为切点， BD⊥PC 于点 D，交⊙ O 于点 E， PA＝AO＝OB＝1. (1)求∠ P 的度数；(2)求 DE 的长．解： (1)连接 OC. C 为切点，∴ OC⊥PC，△ POC 为直角三角形． OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，∴sin ∠P＝OCPO＝ 12.∴∠ P＝ 30°....
