第九章几何问题的转换解析几何几何问题的转换一、基础知识：在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面， 向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题：① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆的位置关系① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB 为钝角（再转为向量：0CA CB；若点在圆上， 则ACB 为直角（0CA CB）；若点在圆外，则ACB 为锐角（0CA CB）（3）三点共线问题① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线第九章几何问题的转换解析几何（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：1122,,,ax ybxy，则,a b 共线1221x yx y ； ab12120x xy y（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点112233,,,,,A x yB xyC xy，则ABC 的重心123123,33xxxyyyG（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线， 由角平分线性质可知 （如图）：,IPAC IQAQI 在BAC的角平分线上AIACAIABAPAQACAB（4） P 是以,DA DB 为邻边的平行四边形的顶点DPDADB（5） P 是以,DA DB 为邻边的菱形的顶点：P 在 AB 垂直平分线上BCAIQPAPDBAPDB第九章几何问题的转换解析几何（6）共线线段长度的乘积：若,,A B C 共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算， (要注意向量的夹角） 例如： ACABAC AB ...
