2015.1.23 JZX 圆锥曲线的第三定义及运用成都石室中学 蒋宗汛一、椭圆和双曲线的第三定义1. 椭圆x y2 2 在椭圆：中， A、B 是关于原点对称的两点，P 是椭圆上异于 A、B 的一C 1 a b 0 a b2 2 点，若 k 、k 存在，则有：PA PBk k =e 1= 2 PA PBb2 a2 证明：构造 △PAB 的 PA 边所对的中位线 MO，k k ，由点差法结论：k k =e 1= 2 PA MO MO PBb2 a2 知此结论成立。2. 双曲线x y2 2 在双曲线 C：1 中，A、B是关于原点对称的两点， P 是椭圆上异于 A、B的一点，若 k 、k2 2 PA PBa b存在，则有：k k =e 1= 2 PA PBb2 a2 证明：只需将椭圆中的b2 全部换成b2 就能将椭圆结论转换成双曲线的结论。1 / 112015.1.23 JZX 二、与角度有关的问题x y 3 2 2 例题一： 已知椭圆：a b 的离心率 e ，A、B 是椭圆的左右顶点，为椭圆与双曲 C 1 0 a b 2 2 2 线 x y2 2 1 的一个交点，令PAB=，APB=，则7 8 cos = cos 2 . 解答：令PBx=，由椭圆第三定义可知：2 1 tan tan =e 1= 4 cos coscos cos sin sin1 tan tan3 = = = cos2coscos cos sin sin1 tan tan5 点评：其实所谓的双曲线方程只是一个障眼法，并不影响题目的解答。两顶点一动点的模型要很快的联想到第三定义，那么剩下的任务就是把题目中的角转化为两直线的倾斜角，把正余弦转化为正切。题目中的正余弦化正切是三角函数的常见考点☆。2 / 112015.1.23 JZX 变式 1-1：（石室中学 2015 级高二下 4月18 日周末作业）已知双曲线 C：x2 y2 2015 的左右顶点分别为 A、B，P 为双曲线右支一点，且PAB =4APB ，求. PAB= 解答：令= 0，，PBA= 0 PAB ，，则 =5，由双曲线的第三定义知：2 2 tan tan =tan tan5=e 1=1 2 则：1 tan= =tan 5= 5= tan52 2 12 点评：与例题 1 采取同样的思路转化角，但对于正切转换的要求较高。两锐角正切乘积为 1 即表示 sinα=cosβ ， cosα =sinβ两角互余 ☆，则可解出α 的值。当然双曲线的题目较于椭圆和抛物线题目考试概率较小，但既然提到了双曲线的第三定义，不妨做一做。三、与均值定理有关的问题x y2 2 例题 2：已知 A、B 是椭圆2 2 1 a b 0 长轴的两个端点，M、N 是椭圆上关于 x 轴对称的两a b点，直线 AM、BN 的斜率分别为k 、k ，且1 2 k1k2 0 。若k k 的...
