题型 1 基本不等式正用a＋b≥2ab例 1： (1) 函数 f ( x)＝x＋1x( x>0) 值域为 ________；函数 f ( x) ＝ x＋1x( x∈R) 值域为 ________；(2) 函数 f ( x) ＝x2＋1x2＋1的值域为 ________．解析： (1) x >0 ，x＋1x≥2x·1x＝2，∴ f ( x)( x >0) 值域为 [2 ，＋∞ ) ；当 x∈R时， f ( x) 值域为 ( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) ；(2) x2＋1x2＋ 1＝( x2＋1) ＋1x2＋1－1≥2x2＋1·1x2＋1－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立．答案： (1)[2 ，＋∞ ) ( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ ) (2)[1，＋∞ ) 4．(2013· 镇江期中) 若 x>1，则 x＋4x－1的最小值为 ________．解析： x＋4x－ 1＝x－1＋4x－1＋1≥4＋ 1＝5. 当且仅当 x－1＝4x－ 1，即 x＝3 时等号成立．答案：5 [ 例 1] (1) 已知 x＜0，则 f ( x) ＝2＋4x＋x 的最大值为 ________．(1) x＜0，∴－ x＞0，∴ f ( x) ＝2＋4x＋x＝2－4－ x＋－ x. －4x＋( －x) ≥24＝ 4，当且仅当－ x＝4－x，即 x＝－ 2 时等号成立．∴f ( x) ＝2－4－x＋－x≤2－ 4＝－ 2，∴ f ( x) 的最大值为－ 2. 例：当 x＞0 时，则 f ( x) ＝2xx2＋1的最大值为 ________．解析： (1) x＞0，∴ f ( x) ＝2xx2＋1＝2x＋1x≤22＝ 1，当且仅当x＝1x，即 x＝1 时取等号．3．函数 y＝x2＋2x－1 ( x>1) 的最小值是 ________．解析： x>1，∴ x－1>0. ∴y＝ x2＋2x－ 1＝x2－2x＋2x＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1＝x－ 12＋2x－1＋3x－1＝x－1＋3x－1＋2≥2 x－13x－ 1＋2＝23＋2. 当且仅当 x－1＝3x－1，即 x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知 x＞0，a 为大于 2x 的常数，求y＝1a－2x－x 的最小值．解： y＝1a－2x＋a－2x2－a2≥2 12－a2＝2－a2. 当且仅当x＝a－22时取等号．故y＝1a－2x－x 的最小值为2－a2. 题型 2 基本不等式反用ab≤a＋b2例： (1) 函数 f ( x) ＝x(1 －x)(0< x<1) 的值域为 __________；(2) 函数 f ( x) ＝x(1 － 2x) 00, x(1 －x) ≤ x＋1－x22＝14，∴ f (x) 值域为0，14 . (2) 00. x(1 －2x) ＝12×2 x(1 － 2x) ≤12·2x＋1－2x22＝18，∴ f ( x) 值域为0，18 . 答案： (1)0，1...
