§2 基本积分方法一、换元积分法第二类换元积分法第一类换元积分法换元积分法◆ 1．第一类换元积分法：设 f ( u) ，)( x 为连续函数，)(x 可导，且CuFduuf)()(，则CxFCuFduufdxxxf)]([)()()(')]([常见的凑微分形式：①)()(1)(baxdbaxfadxbaxf②)()(1)(baxdbaxfnadxbaxfnnn③)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf④)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf⑤)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf⑥)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf⑦)(tan)(tansec)(tan2xdxfxdxxf⑧)(arcsin)(arcsin1)(arcsin2xdxfdxxxf例计算dxxxx)1(arctan22解: 令txarctan，tdtdx2sec，则2cot)1(cscsectansec)1(arctan2222222tttddtttdtttttdxxxx =2cotcot2tdtttt=Ctttt2|sin|lncot2=Cxxxxx22)(arctan211||lnarctan。例计算下列积分：（1）)1ln(xxee；（2）dxxxcos1cos1解：（1）)1()1ln()1ln(xxxxedeee)(xuCeeedxeeeeexxxxxxxx)1ln()1(1)1()1()1ln(（2）dxxxxdxxxxdxxx222sincos2sin2)cos1)(cos1()cos1(cos1cos1Cxxxxxddxxdxsin2cot2sinsin2csc222◆ 2．第二类换元积分法：)(t 单调、可导且0)(t，又)()]([ttf有原函数)(tG。则CxGCtGdtttfdxxf)]([)()(')]([)(1第二类换元法中常用的变量代换：① 三角代换：变根式积分三角有理式积分注意： 辅助三角形可为变量还原提供方便。② 倒数代换tx1 ： 可消去分母中的变量x。③ 指数代换：适用被积函数由a x 或 e x 构成的代数式。例计算积分解：令dttdxtxtex6,ln66例计算积分21xxdx。6321xxxeeedxdtttttdttttt)113136(611223原式Cttttarctan3)1ln(23|1|ln3ln62Ceeexxxx636arctan3)1ln(23|1|ln3解：dtttttxxxdxcossincossin12=dtttttttcossinsincoscossin21Cttt|cossin|ln2121Cxxx|1|ln21arcsin212例计算积分dxxxx1122解： 令tx1 ，则22222222212)1(1111)1(1111111ttddttdtttdtttttdxxxx =CxxxCtt1arcsin11arcsin22二、分部积分法分部积分公式：vduuvudv◆分部积分法条件：u，v 具有连续导数。选取 u，v 的原则：容易求出比要易于求出udvvduv◆可用分部积分法求积分的类型：dxaxaxedxxxxxdxeaxaxxaxaxcossin,arccosarctanln)(P,cossin)(Pnn例 计算积分xdxx ln。解： 原式 =Cxxxxdxxxxxd4ln221ln22ln2222例 计算积分dxeexx2arctandvu(x)dvu( x)u，v 可任选解：)1(arctan21)(arctan21arctan22222xxxxxxxxxeedeeeededxeeCeeeexxxx)arctanarctan(212。例设xxxf)1ln()(ln，计算dxxf)(。解：，设xtln，则tex，tteetf)1ln()(。dxxf)(=dxeeeededxeexxx...
