一、中点的应用1、已知任意三角形一边上的中点：01、倍长中线和类中线构造全等三角形。作用：a全等b平行线c把分散的线段转移到一个三角形中02、三角形中位线定理。2、已知直角三角形斜边中点，考虑构造斜边中线。3、已知等腰三角形底边中点，考虑与顶点连接，用“三线合一”。4、挖掘题目隐含中点。1如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AB+AC＞2AD.2如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE.3如图,在中,,点D为BC中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.4、如图,在中,BE、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,于M.求证:.5、已知:和都是直角三角形,且.如图甲,连接DE,设M为DE的中点.(1)说明:;(2)设,固定,让绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:是否还能成立?并证明其结论.6、(1)如图1,在四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则,求证:(2)如图2,在中,点O是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若,,求OE的长度.(3)如图，四边形ACBD中，AB与CD交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，试判断△OMN的形状.(4)如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于G，若∠EFC＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．7、如图在△ABC中,AB＝AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD＝AB,连结CD,证明CD＝2CE.1、证明：延长AD至点E，使ED=AD，连接CE，如图所示：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD.在△ABD和△ECD中，AD=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ABD≌△ECD.∴AB=EC.在△ACE中，∵AC+EC＞AE=2AD，∴AB+AC＞2AD.2、证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG∵AD是BC边上的中线(已知)，∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，AD＝DG∠ADC＝∠GDB(对顶角相等)DC＝DB∴△ADC≌△GDB(SAS)，∴∠CAD=∠G，BG=AC∵AF=EF，∴∠FAE=∠AEF，∵∠BED=∠AEF，∴∠BED=∠FAE，即：∠BEG=∠CAD，∴∠BEG=∠G∴BE=BG∴AC=BE3、:作,与FD延长线交于G,连接EG,,,,在和中,,,,,,,,,,为直角三角形,、EF、FC为边能构成一个三角形,且为直角三角形.4、证明:连接DE,DF,、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,,,,即是等腰三角形.,点M时EF的中点,即.5证明：延长CM、DB交于G，∵△ABD和△ACE都是直角三角形，∴CE∥BD，即CE∥DG，∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD又∵M是DE中点，即DM=EM，∴△ECM≌△DMG，∴CM=MG，∵G在DB的延长线上，∴△CBG是Rt△CBG，∴在Rt△CBG中，BM=CG=CM.证明:(1)作点M作于点P,..为DE的中点,,是BC的中垂线,;(2)成立.取AD、AE的中点F、G,连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是的中位线,四边形MFAG是平行四边形,,,,又,斜边中线,,,,,,,.6(1)证明:连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH.、F分别是BC、AD的中点,,,,,,,;(2)解:连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,,,,,,是等边三角形,,.(3)首先取BD的中点G，连接EG，FG，则由E，F分别是BC，AD的中点，所以EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，则由三角形的中位线定理得EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又由AB＝CD，所以EG＝FG，所以∠GFE＝∠GEF，又由EG∥CD，FG∥AB，所以∠GFE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，所以∠OMN＝∠ONM，所以OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.【答案】解：△OMN是等腰三角形；理由：如图，先取BD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，∴EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GFE＝∠GEF，又∵EG∥CD，FG∥AB，∴∠GFE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.故答案为：△OMN是等腰三角形.(4)连接bd，k为bd的中点，连接fk、ek7、证法一:取DC的中点为F,联结BF,则BFAC,又BE＝ABAB＝AC∴BF＝BE∠FBC＝∠BCA＝∠ABC又∵BC＝BC∴△FBC≌△EBC∴FC＝CE即CD＝2CE证法二:延长CE到F,使EF＝CE,连结FB∵CE为△ABC中线∴BE＝AE又∠1＝∠2∴△FBE≌△CAE∴FB＝AC∠3＝∠A∵AB＝AC＝BD∴FB＝BD∠ABC＝∠ACB∠3+∠ABC＝∠A+∠ACB即∠FBC＝∠DBC又∵BC公用∴△FBC≌△DBC∴FC＝DC又∵FC＝2CE∴CD＝2CE
