专题三 不等式 第 2 讲 基本不等式与恒成立、存在性问题 回归教材 栏目导航 举题固法 即时评价 回归教材1. (必修5 P107本章测试3)已知x>0，那么2＋3x＋4x的最小值为________． 2＋4 3 【解析】当x>023时， ＋ x＋4x≥22＋3x·4x24＝ ＋3，当且仅当x＝2 33 时等号成 24立，故所求的最小值为 ＋3. 双勾函数类型 2. (必修5 P108本章测试13改编)已知正数a，b满足a＋b＝1，那么1a＋1b的最小值为________． 4 【解析】由题意知1a＋1b(＝ a＋b)1a＋1b2＝ ＋ba＋ab≥22＋ba·ab4＝ ，当且仅当 a＝b＝12时等号成4.立，故所求的最小值为 注意“1”的变换 3. (必修5 P91习题5改编)已知函数f (x)＝x＋ 1x －2(x<0)，那么f (x)的最大值为________． － 4 若a，b<0，则a＋b≤－2 ab 【解析】因为x<0，所以f (x)＝－(－x)＋1(－x)2－ ≤224－ － ＝－ ，当且仅当 －x＝ 1－x，即x1＝－ 时取等号． 4. (必修5 P101习题2改编)若x>0，y>0，且log3x＋log3y＝1，则 1x ＋ 1y 的最小值为________． 2 33 若a，b>0，则a＋b≥2 ab 【解析】log由3xlog＋3y1＝ ，得xy3＝ ，所以1x＋1y≥21x·1y2＝13＝2 33 . 5. (必修5 P91习题3改编)函数y＝ x2＋5x2＋4的最小值为________． 52 基本不等式：“＝”需成立 【解析】设t＝ x24＋ (t≥2)，易知y＝t＋1t[2在，＋∞)上是单调增函数，所以当 t＝ x24＋2＝ ，即x0＝ 时，ymin＝52. 举题固法目标1 利用基本不等式求最值 (1) 已知a>0，b>0，那么a2a＋b＋ 2b2b＋a的最大值为________． 2－2 23 【解析】 设m2＝ a＋b>0，n2＝ b＋a>0，则a＝2m－n3，b＝2n－m3， 所以原式＝2m－n3m＋4n2－ m3n2＝ － n3m－2m3n≤22－n3m·2m3n2＝ －2 23 ， 当且仅当 n3m＝2m3n，即n＝ 2m，也即b＝3 22＋2a时等号成立． (2) 已知正实数m，n满足m＋n＝3，那么m2＋1m＋ n2n＋1的最小值为________． 3 【解析】 因为m＋n3＝ ，所以m21＋m＋ n2n1＋ ＝m＋ 1m＋n1－ ＋1n1＋2＝ ＋ 1m＋1n1＋2＝ ＋1m＋ 1n1＋m＋(n1＋ )42＝ ＋ 142＋ mn1＋ ＋n1＋m≥2＋ 1422＋mn1＋ ·n1＋m3＝ ，当且仅当 mn1＋ ＝n1＋m ，即m2＝ ，n1＝ 时取等号． (1) 若x，y均为正实数，且x＋2y＝4，则 x2x＋2＋ 2y2y＋1的最小值是________． 2 【解析】 令x2＋ ...
