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logistic 模型 Logistic 模型 自然界中存在着一种事物的发展规律：在其发展初期，数量或规模增加得越来越快，到了一定时期，其增长速度逐步慢下来，最终数量或规模不再增长，从而稳定在数量或规模的极限值处。 如果记t 时刻数量为( )tN tN，则上述发展规律可由微分方程描述： (1)tttmdNNrNdtN （1） 在初始条件00( )N tN和参数(0)mrN、已知的条件下，tN 被唯一确定。易得其解为 0()01(/1)kmtr ttmNNNNe  （2） 给出由n 对观测数据( ,)kktN (( ),1,2,)kkN tNkn�� 确定参数mN 及r 估计值的算法。该问题实质是确定估计函数： 0()01 (/1)kmtr ttmNNNNe 使得函数tN 和tN 的距离最小。 交替迭代算法 交替迭代算法的基本思想是：先假设mN 已知，求出r 的最小二乘估计值，再以r 的估计值为已知，求出mN 的最优估计值，这样交替迭代，直至收敛到符合精度要求为止。 mN 已知时r 的估计 整理式（2）得 00ln(1)()ln(1)0mmktNNr ttNN 由于观察过程中，观察数据有偏差，不妨令该偏差为 00ln(1)()ln(1)mmkktNNr ttNN 其中，kN 为kt 时刻的观测值，则令 2*2000110()minmin[ln(1)()ln(1)]nnmmkkrrkktNNf rr ttNN 根据最小二乘准则，得 001*0201()()()()nkmkkmknkkNNNtt ln NNNrtt （3） 由式（3）可见，由于对数运算的限制，只有/1 (0,1, 2,)mkNNkn�� 估计才有意义。 r 已知时mN 的估计 由式（2）可得观测值： （1） （2） （3）初始值0N 一般取第一个观测值。 （4）参数mNr、 的取值范围为0,( , )mrNs l，这里01[]2max(0,,)nsNN，2nLN。 （5）参数计算过程中，使用的样本要满足0kNN。 （6）估计r 时应用较靠前的观测数据，而估计mN 时用靠后的数据，靠前的数据观测值多些，但不要靠近极限值，靠后的数据数目可少些，尽量靠近系统的极限。 以下L 替换为mN ，a 替换为0/mNN x=0:1:12 y=[43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71] y=L/(1+a*exp(-k*x)) 利用线性回归模型所得到的a 和k 的估计值和L=3000 作为Logistic 模型的拟合初值，对Logistic 模型做非线性回归。 %第一步,线性回归模型得到a,k %这里假定y=a*exp(k*x),对两边取ln(Matlab 中，ln 用log ...