永州市 2020 年高考第一次模拟考试· 数学（理科）参考答案第 1 页 （共 7页）永州市 2020 年高考第一次模拟考试试卷数学 （理科） 参考答案一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C B A D A B C D C A D B 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 . 13．2 14．5 15．1043316．23三、解答题：本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12 分）解：（1）在ABCD中，由正弦定理得sincossinsin0BAAB-=，⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分sin0BQ，tan1A，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因为(0)A，，所以4A.⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）ABADQ，且4BAC，4CAD，⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分在ACDD中，2 2AC =，5CD =，4CAD由余弦定理得2222cosCDACADACADCAD=+-鬃?，⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分即22582222ADAD=+-创?，解得：1AD或3AD⋯⋯⋯⋯ 11 分AD 的长为 1 或 3. ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．（本小题满分12 分）解：（1）如图连接DE ，易知 Δ DCE，CEP均为正三角形，取CE 中点 Q ，连接 PQ ，DQ ，则CEPQ ⊥，CEDQ ⊥⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又QPQDQ，DQPQ,平面 DPQ ，EC平面 PDQ ，⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又PD平面 PDQ ，所以PDEC ⊥. ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）因为二面角PECD 为直二面角，所以平面PEC平面 AECD ，又因为平面PEC平面ECAECD，且ECPQ ⊥，所以⊥PQ平面 AEC . 永州市 2020 年高考第一次模拟考试· 数学（理科）参考答案第 2 页 （共 7页）又因为DQEC ⊥，故以点 Q 为坐标原点，QPQDQC，，所在直线分别为x 轴、y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyzQ. ⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分则( 2, 3,0)A， ( 1,0,0)E， (0,0,3)P.所以(1,3)AE-,0uuur，(2,3,3)AP-uuur设平面 PAC 的法向量为)(zyxm，，.由00m AEm APì??í???uruuururuuur得302330xyxyzì-=?í?-+=?取1z = -，所以(3)m,1,-1=ur. ⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分又因为直线PQ ^ 平面 AEC，所以(0,0,3)PQ =uuur是平面 AEC的一个法向量，所以35cos,553m PQm PQmPQuruuurur uuururuuur?<>=== -′×. ⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分又因为二面角PAEC 为锐二面角所以二面角PAEC 的余弦值55. ⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19．（本小题满分12 分）解：（1）由题意知22314...
