7.4 数列求和核心考点·精准研析考点一 分组转化法或并项法求和 1.数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(2n-1),则该数列的前 100 项之和为( )A.-200B.-100C.200D.1002.数列{1+2n-1}的前 n 项和为( )A.2n B.2n-1+1 C.n-1+2n D.n+2+2n3.已知函数 f(n)=且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+…+a100 等于( )A.0 B.100C.-100 D.10 2004.已知数列{an}的通项公式是 an=n2sin,则 a1+a2+a3+…+a2 021等于 ( )A.-B.C. D.-5.已知正项数列{an}满足-6=an+1an.若 a1=2,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 【解析】1.选 D.由题意知 S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.2.选 C.由题意得 an=1+2n-1,所以 Sn=n+=n+2n-1.3.选 B.由题意,得 a1+a2+a3+…+a100=12-22-22+32+32-42-42+52+…+992-1002-1002+1012=-(1+2)+(3+2)-(4+3)+…-(99+100)+(101+100)=-(1+2+…+99+100)+(2+3+…+100+101)=-50×101+50×103=100.4.选 A.an=n2sin,所以 a1+a2+a3+…+a2 021=-12+22-32+42-…-2 0192+2 0202-2 0212=(22-12)+(42-32)+…+(2 0202-2 0192)-2 0212=(1+2+3+4+…+2 019+2 020)-2 0212=-2 0212=.5.因为-6=an+1an,因此(an+1-3an)(an+1+2an)=0.又因为 an>0,所以 an+1=3an.又 a1=2,所以{an}是首项为 2,公比为 3 的等比数列.所以 Sn==3n-1.答案:3n-1将 T3 变为:在数列{an}中 a1=2,a2=2,an+2-an=1+(-1)n,n∈N*,则 S60的值为( )A.990B.1 000C.1 100D.99【解析】选 A.n 为奇数时,an+2-an=0,an=2;n 为偶数时,an+2-an=2,an=n.故 S60=2×30+(2+4+…+60)=990.1.分组法求和的常见类型(1)若 an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组法求{an}的前 n 项和.(2)通项公式为 an=的数列,其中数列{bn},{cn}是等比或等差数列,可采用分组法求和.2.并项求和法一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如 Sn=1002-992+982-972+…+22-12=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.【秒杀绝招】 排除法解 T2,把 n=1 代入排除 D 选项,把 n=2 代入排除 A、B 选项.考点二 错位相减法 【典例】已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1.(1)求数列{bn}的通项公式.(2)令 cn=,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.【解题导思】序号题目拆解(1)①{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n知 Sn求 an②{bn}是等差数列,且 an=bn+bn+1求数列{bn}的...
