第 2 课时 基本不等式的应用A 级：基础巩固练一、选择题1．设 x，y 为正数，则(x＋y)的最小值为( )A．6 B．9 C．12 D．15答案 B解析 (x＋y)＝x·＋＋＋y·＝1＋4＋＋≥5＋2＝9(当且仅当 y＝2x 时取等号)．2．已知 m，n∈R，m2＋n2＝100，则 mn 的最大值是( )A．100 B．50 C．20 D．10答案 B解析 由 m2＋n2≥2mn 得，mn≤＝50，等号在 m＝n＝±5 时成立．故选 B．3．某工厂第一年产量为 A，第二年产量的增长率为 a, 第三年产量的增长率为 b，这两年产量的平均增长率为 x，则( )A．x＝ B．x≤C．x＞ D．x≥答案 B解析 这两年产量的平均增长率为 x，∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)．∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．由题设，知 a＞0，b＞0.∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.等号在 1＋a＝1＋b，即 a＝b 时成立．故选 B．4．若 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，c<0，b>a，且 a，b，c 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则＋－2c 的最小值等于( )A．9 B．10 C．3 D．答案 D解析 a，b 是函数 f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，即 a，b 是一元二次方程 x2－px＋q＝0(p>0，q>0)的两个根，∴根据一元二次方程的根与系数的关系可得 a＋b＝p，ab＝q，(a>0，b>0，a≠b)由题意可得 ab＝c2，b＋c＝2a，消去 c 可得 ab＝(2a－b)2＝4a2－4ab＋b2，即为(a－b)(4a－b)＝0，解得 b＝4a(b＝a 舍去)，则＋－2c＝＋－2(2a－b)＝8a＋≥2 ＝，当且仅当 8a＝，即 a＝时，取得等号．则所求的最小值为.故选 D．二、填空题5．已知＋＝2(x>0，y>0)，则 xy 的最小值是________．答案 6解析 ＋≥2，∴2≤2，∴xy≥6.6．已知不等式(x＋y)≥9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值为________．答案 41解析 a>0，∴(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2≥9，∴≥2 或≤－4(舍去)，∴正实数 a 的最小值为 4.7．已知二次函数 f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________．答案 4解析 根据题意知 a>0，Δ＝4－4ac＝0，∴ac＝1，c>0.∴＋＝＋＋＋＝＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当 a＝c＝1 时等号成立，∴＋的最小值为 4.三、解答题8．设 f(x)＝.(1)求 f(x)的最大值；(2)证明：对任意实数 a，b 恒有 f(a)
