高中数学 第6章 推理与证明 6.1.1 合情推理（一）——归纳应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

6.1.1 合情推理（一）——归纳 [A 基础达标]1．观察数列 1，5，14，30，x，…，则 x 的值为( )A．22 B．33C．44 D．55解析：选 D.观察归纳得出，从第 2 项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即 an＝an－1＋n2，所以 x＝30＋52＝55.2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中的规律，第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选 C.从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多 6 根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为 8 根，故可归纳出第 n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为 6n＋2.3．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是( )A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析：选 B.可以发现：第一个式子的第一个数是 1，第二个式子的第一个数是 2，…，故第n 个式子的第一个数是 n；第一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加，…，故第n 个式子中有 2n－1 个数相加；第一个式子的结果是 1 的平方，第二个式子的结果是 3 的平方，故第 n 个式子应该是 2n－1 的平方，故可以得到 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7 等于( )1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：选 B.由 1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝11 111；1…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为 1，位数跟等式左边的第二个加数相同．所以 123 456×9＋7＝1 111 111.5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图(1)中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的 1，4，9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A．289 B．1 024C．1 225 D．1 378解析：选 C.设图(1)中数列 1，3，6，10，…的通项为 an，则 a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.所以 an＝a1＋(a2－a1)＋(...