3.1 变化的快慢与变化率(建议用时：45 分钟)[学业达标]一、选择题1．已知函数 y＝f(x)＝sin x，当 x 从变到时，函数值的改变量 Δy＝( )A．－ B. C. D.【解析】 Δy＝f－f＝sin－sin ＝1－＝.【答案】 B2．在曲线 y＝x2＋1 上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则＝( )A．Δx＋B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－【解析】 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝(Δx)2＋2Δx，∴＝Δx＋2.【答案】 C3．函数 f(x)＝－，在 2 到 2＋Δx 之间的平均变化率为( )A．－B．－C.D．【解析】 ＝＝.【答案】 C4．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系式为s＝t2，则 t＝2 时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )A．2B．1C.D．【解析】 因为 Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt，当 Δt 趋于 0 时，＋Δt 趋于，因此 t＝2 时，木块在水平方向瞬时速度为.【答案】 C5．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像相对应的一项是( )A．①②③④B．②①③④C．②①④③D．②④①③【解析】 以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选 C.【答案】 C二、填空题6．函数 f(x)＝ln x＋1 从 e 到 e2的平均变化率为________．1【解析】 Δy＝f(e2)－f(e)＝(ln e2＋1)－(ln e＋1)＝1，Δx＝e2－e，∴＝.【答案】 7．质点按规律 s(t)＝at＋1 运动，若在 t＝2 时刻的瞬时速度为，则 a 的值为________．【解析】 由＝a，得 a＝.【答案】 8．质点的运动方程是 s(t)＝，则质点在 t＝2 时的速度为________. 【解析】 ＝＝＝－，当 Δt 趋于 0 时，＝－.【答案】 －三、解答题9．如果一个质点从定点 A 开始运动，时间 t 的位移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，当 t1＝4，且Δt＝0.01 时，求：(1)Δy；(2).【解】 (1) Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝(t1＋Δt)3＋3－(t＋3)＝3tΔt＋3t1(Δt)2＋(Δt)3.∴当 t1＝4，Δt＝0.01 时，Δy＝3×42×0.01＋3×4×0.012＋0.013＝0.481 201.(2) ＝＝3t＋3t1·Δt＋(Δt)2.∴当 t1＝4，Δt＝0.01 时，＝3×42...
