第三章 3.3 3.3.21．函数 f(x)＝－的极值点为( D )A．0B．－1C．0 或 1D．1[解析] ∵f′(x)＝x3－x2＝x2(x－1)，由 f′(x)＝0 得 x＝0 或 x＝1，又当 x＞1 时，f′(x)＞0，当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0，∴x＝1 是 f(x)的极小值点．又 x＜0 时 f′(x)＜0，故 x＝0 不是函数的极值点．故选 D．2．函数 y＝2x3－x2的极大值为( A )A．0B．－9C．0，D．[解析] y′＝6x2－2x＝2x(3x－1)，令 y′＝0，得 2x(3x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝，当 x 变化时，y′、y 的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，)(，＋∞)y′＋0－0＋y极大值极小值－由上表可知，当 x＝0 时，函数取极大值，y 极大值＝0.3．函数 f(x)＝x＋(x＞0)在 x＝1 处取得( A )A．极小值B．极大值C．既有极大值又有极小值D．不存在极值[解析] f′(x)＝1－＝，令 f′(x)＞0，得 x2－1＞0，∵x＞0，∴x＞1，令 f′(x)＜0，得 x2－1＜0，∴0＜x＜1，∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴当 x＝1 时，f(x)取得极小值，故选 A．4．若函数 f(x)＝在 x＝1 处取得极值，则 a＝__3__.[解析] f′(x)＝＝，∵函数 f(x)在 x＝1 处取得极值，∴f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.5．(2018·全国卷Ⅰ文，21(1))已知函数 f(x)＝aex－ln x－1.设 x＝2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间．[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝aex－.由题设知，f ′(2)＝0，所以 a＝.从而 f(x)＝ex－ln x－1，f ′(x)＝ex－.当 02 时，f ′(x)>0.所以 f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
