第 2 课时 空间向量与垂直关系A 级 基础巩固一、选择题1．四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)，则直线 PA 与底面 ABCD 的关系是( )A．平行 B．垂直C．在平面内 D．成 60°角答案：B2．在菱形 ABCD 中，若PA是平面 ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )A.PA·AB＝0 B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0 D.PA·CD＝0解析：因为 PA⊥平面 ABCD，所以 BD⊥PA.又 AC⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所以 PC⊥BD.故选项 B 正确，选项 A 和 D 显然成立，故选 C.答案：C3.如图，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，E 是 CD 的中点，F 是 AD 上一点，当BF⊥PE 时，AF∶FD 的值为( )A．1∶2 B．1∶1C．3∶1 D．2∶1答案：B4．已知 A(3，0，－1)，B(0，－2，－6)，C(2，4，－2)，则△ABC 是( )A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析：AB＝(－3，－2，－5)，AC＝(－1，4，－1)，则AB·AC＝－3×(－1)－2×4＋5＝0.所以AB⊥AC，又|AB|≠|AC|，故△ABC 为直角三角形．答案：C5．已知直线 l1的方向向量 a＝(2，－2，x)，直线 l2的方向向量 b＝(2，y，－2)．若|a|＝3，且 a⊥b，则 x－y 的值是( )A．－4 或 0 B．4 或 1C．－4 D．0解析：因为|a|＝＝3，所以 x＝±1.又因为 a⊥b，所以 a·b＝2×2－2y－2x＝0，所以 y＝2－x.当 x＝1 时，y＝1；当 x＝－1 时，y＝3.所以 x－y＝0 或 x－y＝－4.答案：A1二、填空题6．若 l 的方向向量为(2，1，m)，平面 α 的法向量为，且 l⊥α，则 m＝________．解析：由 l⊥α 得，＝＝，即 m＝4.答案：47.如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D 是 A1C1的中点，点 E 在棱 AA1上，要使 CE⊥平面 B1DE，则 AE＝________．解析：建立空间直角坐标系，如图所示，依题意得 B1(0，0，3a)，D，C(0，a，0)．B1D＝，设 E(a，0，z)(0≤z≤3a)，则CE＝(a，－a，z)，B1E＝(a，0，z－3a)，CE·B1D＝0.要使 CE⊥平面 B1DE，即 B1E⊥CE，得B1E·CE＝2a2－0＋z2－3az＝0.解得 z＝a 或 2a.答案：a 或 2a8．已知 A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(1，2，1)，点 P(x，y，0)，若 PA⊥平面 ABC，则点 P 的坐标为________．解析：由已知得PA＝(－x，1－y，0)，AB＝(－1，－1，－1)，AC＝(1，1...
