3.1.1 函数的平均变化率课堂探究探究一 求函数的平均变化率求函数的平均变化率应按照定义应用公式来求．第一步，计算自变量的改变量：Δx＝x－x0；第二步，计算函数值的改变量：Δy＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)；第三步，计算平均变化率：＝.【典型例题 1】 已知函数 f(x)＝2x2＋1，分别计算 f(x)在－3 到－1 之间和在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率．思路分析：先由题目条件求出自变量的改变量 Δx 与函数值的改变量 Δy，再根据定义代入公式求解．解：(1)Δx＝－1－(－3)＝2，Δy＝f(－1)－f(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，所以＝＝－8，即 f(x)在－3 到－1 之间的平均变化率为－8.(2)因为 Δx＝1＋Δx－1＝Δx，Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2×(1＋Δx)2＋1]－(2×12＋1)＝4Δx＋2(Δx)2，所以＝＝4＋2Δx，即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋Δx.探究二 平均变化率的比较函数的平均变化率反映的是函数的图象在这一点附近的“陡峭”程度．函数在某点附近的平均变化率的绝对值越大，说明函数在此点附近的图象越“陡峭”．比较平均变化率的方法步骤：(1)求出两不同点处的平均变化率；(2)作差(或作商)，并对差式(商式)作合理变形，以便探讨差的符号(商与 1 的大小)；(3)下结论．【典型例题 2】 已知函数 f(x)＝3－x2，计算当 x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数 f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大．思路分析：先求 f(x)在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率，再求各点附近的平均变化率，最后比较得结论．解：函数 f(x)＝3－x2在 x0到 x0＋Δx 之间的平均变化率为＝＝＝－2x0－Δx.当 x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－；当 x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－；当 x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－.因为－＞－＞－，所以函数 f(x)＝3－x2在 x0＝1 附近的平均变化率最大．1
