第 17 课 导数的运算一、 填空题 1. 函数f(x)=ln x2(x>0)的导函数f'(x)= . 2. 函数y=cosxx的导数是 . 3. 若f(x)=cosx·sin2x+cos3x,则f'π6 = . 4. 设函数f(x)=x-2sin x,若f'(x0)=0,且x0∈(0,π),则x0= . 5. 已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b切于点(1,3),那么实数b的值为 . 6. 曲线y=2xx 在点(-1,-1)处的切线方程为 . 7. 已知函数f(x)=f'4 cos x+sin x,那么f4 的值为 . 8. 若曲线f(x)=ax2+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是 .二、 解答题 9. (2014·望江模拟)已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其导函数y=h'(x)的图象如图所示,求h'(3)的值.(第9题)10. (2014·芜湖模拟)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+12 x2,求f(x)的解析式.111. (2014·皖南八校模拟)已知函数f(x)=x2-alnx和g(x)=1a x-x ,且f'(1)=g'(1),求函数f(x),g(x)的表达式.2第17课 导数的运算1. 2x 2. y'=-2xsinxcosxx 3. -124. π3 解析:f'(x)=1-2cos x,由f'(x0)=0,得cos x0=12 .又x0∈(0,π),所以x0=π3 . 5. 3 解析:y'=3x2+a,由题意有3=k+1,3+a=k,且3=1+a+b,所以b=3. 6. y=2x+1 解析:因为y'=2x'(x2)-x(x2)'(x2)=22(x2),所以k=y'|x=-1=22(-12)=2,所以切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1. 7. 1 解析:因为f'(x)=-f'π4 ·sin x+cos x,所以f'π4 =-f'π4 ·sinπ4 +cosπ4 f'π4= 2 -1.故fπ4 =f'π4 cosπ4 +sinπ4 =1. 8. (-∞,0) 解析:函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=2ax+1x .因为存在垂直于y轴的切线,故此时切线斜率为0,问题转化为:在x>0时导函数f'(x)=2ax+1x 存在零点,即等价于方程2ax+1x =0在(0,+∞)内有解,显然可得a=-212x∈(-∞,0). 9. h'(x)=2ax+b,由题图知,函数h'(x)的图象过(0,-8),(4,0)两点,3则有b-8,8ab0,解得a1,b-8, 则h'(x)=2x-8,所以h'(3)=-2.10. f'(x)=f'(1) x-1e-f(0)+x.所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f'(1) e-1,所以f'(1)=e.从而f(x)=ex-x+12 x2.11. 由f(x)=x2-alnx,得f'(x)=22x -ax,由g(x)=1a x-x ,得g'(x)=1a -12 x .因为f'(1)=g'(1),所以2-a=2-a2a ,故a=2或a=12 .所以当a=2时,f(x)=x2-2lnx,g(x)=12 x-x ;当a=12 时,f(x)=x2-12 lnx,g(x)=2x-x .4
