学业分层测评(八) 平面直角坐标系中的伸缩变换(建议用时：45 分钟)[学业达标]1．在平面直角坐标系中，求下列方程经过伸缩变换后的方程．(1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1.【解】 由伸缩变换得到①(1)将①代入 2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的方程为 x′＋y′＝0，所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋3y＝0 变成直线 x＋y＝0.(2)将①代入 x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，经过伸缩变换后，方程 x2＋y2＝1 变成＋＝1.2．伸缩变换的坐标表达式为曲线 C 在此变换下变为椭圆 x′2＋＝1.求曲线 C 的方程．【解】 把代入 x′2＋＝1，得 x2＋y2＝1，即曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1.3．设 F：(x－1)2＋(y－1)2＝1 在的伸缩变换下变为图形 F′，求 F′的方程．【解】 由得所以(x－1)2＋(y－1)2＝1 变换为(x′－1)2＋(y′－1)2＝1，即＋(y′－1)2＝1，所以 F′的方程是＋(y－1)2＝1.4．双曲线－＝1 经过伸缩变换能化为等轴双曲线 x2－y2＝1 吗？【解】 双曲线方程－＝1 可以化为()2－()2＝1.令则 x′2－y′2＝1.所以双曲线－＝1可以通过伸缩变换化为等轴双曲线 x2－y2＝1，具体步骤是：按伸缩系数向着 y 轴进行伸缩变换，再将曲线按伸缩系数向着 x 轴进行伸缩变换．5．已知 G 是△ABC 的重心，经过伸缩系数 k 向着 x 轴(或 y 轴)的伸缩变换后，得到 G′和△A′B′C′.试判断 G′是否为△A′B′C′的重心．【解】 设△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，则 G(，)．经过伸缩系数 k 向着 x 轴的伸缩变换后，得到△A′B′C′的三个顶点及点 G′的坐标分别为 A′(x1，ky1)、B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(，k)．由于△A′B′C′的重心坐标为(，)，所以 G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可证，若伸缩变换向着 y 轴方向，G′同样也是△A′B′C′的重心．6．已知：△ABC 经过伸缩变换(k≠0，且 k≠1)后，得到△A′B′C′.求证：△A′B′C′和△ABC 相似，且面积比为 k2.【证明】 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky2)．所以 A′B′＝＝|k|＝|k|AB.同理可得 A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC，所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′，S△A′B′C′＝(|k|AB)·(|k|AC)sin A′＝k2[(AB·AC)sin A]＝k2S△ABC.7．设 P1、P2是直线 l 上的两点，点 P 是 l 上不同于 P1、P2的任意一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，称 λ 为点 P 分有向线段...
