第 25 练 高考大题突破练—导数 [基础保分练]1．已知函数 f(x)＝ax＋x2－xlna－b(a，b∈R，a>1)，e 是自然对数的底数．(1)当 a＝e，b＝4 时，求函数 f(x)的零点个数；(2)若 b＝1，求 f(x)在[－1,1]上的最大值．2．(2019·江苏省部分重点高中联考)已知函数 f(x)＝x2＋alnx.(1)当 a<0 时，∃x>0，使 f(x)≤0 成立，求 a 的取值范围；(2)令 g(x)＝f(x)－(a＋1)x，a∈(1，e]，证明：对∀x1，x2∈[1，a]，恒有|g(x1)－g(x2)|<1.3．(2018·南京模拟)已知函数 f(x)＝lnx－x2＋(a－1)x(a∈R)．(1)当 a≥0 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 f(x)有两个相异零点 x1，x2，求 a 的取值范围，并证明 x1＋x2>2.[能力提升练]4．已知函数 f(x)＝xlnx 和 g(x)＝m(x2－1)(m∈R)．(1)当 m＝1 时，求方程 f(x)＝g(x)的实根；(2)若对任意的 x∈(1，＋∞)，函数 y＝g(x)的图象总在函数 y＝f(x)图象的上方，求 m 的取值范围；(3)求证：＋＋…＋>ln(2n＋1)(n∈N*)．1答案精析1．解 (1)f(x)＝ex＋x2－x－4，所以 f′(x)＝ex＋2x－1，所以 f′(0)＝0，当 x>0 时，ex>1，所以 f′(x)>0，故 f(x)是(0，＋∞)上的增函数，当 x<0 时，ex<1，所以 f′(x)<0，故 f(x)是(－∞，0)上的减函数，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，所以存在 x1∈(1,2)是 f(x)在(0，＋∞)上的唯一零点，f(－2)＝＋2>0，f(－1)＝－2<0，所以存在 x2∈(－2，－1)是 f(x)在(－∞，0)上的唯一零点，所以 f(x)的零点个数为 2.(2)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a，当 x>0 时，由 a>1，可知 ax－1>0，ln a>0，所以 f′(x)>0，当 x<0 时，由 a>1，可知 ax－1<0，ln a>0，所以 f′(x)<0，当 x＝0 时，f′(x)＝0，所以 f(x)是[－1,0]上的减函数，[0,1]上的增函数，所以当 x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(0)，f(x)max为 f(－1)和 f(1)中的较大者，而 f(1)－f(－1)＝a－－2ln a，设 g(x)＝x－－2ln x(x>1)，因为 g′(x)＝1＋－＝2>0，所以 g(x)在(1，＋∞)上单调递增，而 g(1)＝0，所以当 x>1 时，g(x)>0，即 a>1 时，a－－2ln a>0，所以 f(1)>f(－1)．所以 f(x)在[－1,1]上的最大值为 f(1)＝a－ln a.2．(1)解 当 a<0 时，由 f′(x)＝x＋，令 f′(x)＝0，∴x＝，列表得：2x(0，)(，＋∞)f′(x)－0＋f(x)减函数极小值增函数这时 f(x)min＝f()＝－＋aln， ∃x>0，使 f(x)≤0 成立，∴－＋aln≤0，∴a≤－e，...
