单元质检六 平面向量、解三角形、复数(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 6 分,共 48 分)1.设复数 i-21+i=a+bi(a,b∈R),则 a+b=( )A.1B.2C.-1D.-22.已知 O 是△ABC 所在平面内一点,D 为 BC 边的中点,且 2⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,则有( )A.⃗AO=2⃗ODB.⃗AO=⃗ODC.⃗AO=3⃗ODD.2⃗AO=⃗OD3.若非零向量 a,b 满足 a⊥(2a+b),且 a 与 b 的夹角为2π3 ,则|a||b| =( )A.12B.14C.❑√32D.24.已知菱形 ABCD 的边长为 a,∠ABC=60°,则⃗BD ·⃗CD= ( )A.-32a2B.-34 a2C.34 a2D.32a25.一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60°方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为( )A.15❑√2 kmB.30❑√2 kmC.45❑√2 kmD.60❑√2 km6.已知向量⃗OB=(2,0),向量⃗OC=(2,2),向量⃗CA=(❑√2cos α,❑√2sin α),则向量⃗OA与向量⃗OB的夹角的取值范围是( )A.[0, π4]B.[π4 , 5π12 ]C.[5 π12 , π2]D.[π12 , 5π12 ]7.已知|⃗OA|=|⃗OB|=2,点 C 在线段 AB 上,且|⃗OC|的最小值为 1,则|⃗OA-t⃗OB|(t∈R)的最小值为( )A.❑√2B.❑√3C.2D.❑√58.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,且 a·b=1.若 e 为平面单位向量,则(a+b)·e 的最大值为( )A.❑√6B.6C.❑√7D.7二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)9.设 i 为虚数单位,复数 z=1- i3-i的虚部是 . 10.已知向量 a=(1,-1),b=(6,-4).若 a⊥(ta+b),则实数 t 的值为 . 11.已知向量⃗OA=(2,2),⃗OB=(4,1),在 x 轴上存在一点 P 使⃗AP ·⃗BP有最小值,则点 P 的坐标是 . 12.在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,则⃗AE·⃗AF的最大值为 . 13.若向量 a,b 满足 a=(-❑√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|= . 14.在平面直角坐标系中,已知 A(1,0),B(0,-1),P 是曲线 y=❑√1- x2上一个动点,则⃗BP ·⃗BA的取值范围是 . 三、解答题(本大题共 2 小题,共 22 分)15.(11 分)在△ABC 中,A=30°,BC=2❑√5,点 D 在 AB 边上,且∠BCD 为锐角,CD=2,△BCD 的面积为 4.(1)求 cos ∠BCD 的值;(2)求边 AC 的长.16.(11 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,满足 ccos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角 C;(2)若 c=❑√3,求△ABC ...
