课时作业 21 数学归纳法的应用知识点一 用数学归纳法证明整除问题 1.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xn＋yn能被 x＋y 整除”，下列关于步骤(2)的说法正确的个数是( )① 假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立；② 假设当 n＝k(k 是正奇数)时命题成立，证明当 n＝k＋2 时命题也成立；③ 假设当 n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当 n＝2k 时命题也成立；④ 假设当 n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当 n＝2k＋1 时命题也成立．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 因为 n 为正奇数，所以步骤(2)应为：假设当 n＝k(k 是正奇数)时命题成立，证明当n＝k＋2 时命题也成立；也可为：假设当 n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，证明当 n＝2k＋1 时命题也成立．故②④正确，选 B.2．下列代数式(其中 k∈N*)能被 9 整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)答案 D解析 (1)当 k＝1 时，显然只有 3(2＋7k)能被 9 整除．(2)假设当 k＝n(n∈N*)时，3(2＋7n)能被 9 整除．那么当 k＝n＋1 时，3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，当 k＝n＋1 时，3(2＋7n＋1)也能被 9 整除．根据(1)和(2)，可知对任何 k∈N*,3(2＋7k)均能被 9 整除．3．用数学归纳法证明“n∈N*,34n＋2＋52n＋1一定能被 14 整除”时，当 n＝k＋1 时，对于 34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1应变形为________．答案 81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1解析 上一步是假设 n＝k 时，34k＋2＋52k＋1能被 14 整除，所以当 n＝k＋1 时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝81×(34k＋2＋52k＋1)－56×52k＋1也能被 14 整除.知识点二 归纳—猜想—证明4.设 f(n)＝5n＋2×3n－1＋1(n∈N*)，若 f(n)能被 m(m∈N*)整除，则 m 的最大值为( )A．2 B．4 C．8 D．16答案 C解析 f(1)＝8，f(2)＝32＝8×4，f(3)＝144＝8×18.猜想 m 的最大值为 8.证明：①当 n＝1 时，由 f(1)＝8 知命题成立．② 假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 f(k)＝5k＋2×3k－1＋1 能被 8 整除．那么当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝5k＋1＋2×3(k＋1)－1＋1＝5×5k＋6×3k－1＋1＝(5k＋2×3k－1＋1)＋4(5k＋3k－1)＝f(k)＋4(5k＋3k－1)．这里，5k,3k－1都是奇数，二者的和为偶数，从而 4(5k＋3k－1)能被 8 整除，又 f(k)能被 8 整除，故 f(k＋1)能被 8 整除．1即当 n＝k＋1 时命题也成立．根据①和②，...
