第 4 课时 利用向量解决平行与垂直、夹角问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知向量 a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),如果 a∥b,那么 x 等于( )A.-1B.1C.-5D.5解析 向量 a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),a∥b,∴ x2=24 =-1-2,解得 x=1.故选 B.答案 B2.(2019 全国Ⅱ高考)已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC=( )A.-3B.-2C.2D.3解析由⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,t-3),|⃗BC|=√12+(t - 3)2=1,得 t=3,则⃗BC=(1,0).所以⃗AB ·⃗BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选 C.答案 C3.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 M,N 分别是面对角线 A1B 与 B1D1的中点,若⃗DA=a,⃗DC=b,⃗D D1=c,则⃗MN=( )A.12(c+b-a)B.12(a+b-c)C.12(a-c)D.12(c-a)解析在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, 点 M,N 分别是面对角线 A1B 与 B1D1的中点,⃗DA=a,⃗DC=b,⃗D D1=c,∴⃗MN=⃗MB+⃗BB1+⃗B1 N=12⃗A1B+⃗B B1+12⃗B1 D1=12 ¿)+⃗BB1+ 12 ¿)=12(-c+b)+c+12(-a-b)=-12a+12c=12(c-a),故选 D.答案 D4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,N 是棱 AD 的中点,M 是棱 CC1上的点,且 CC1=3CM,则直线 BM 与 B1N 所成的角的余弦值是( )1A.√105B.2√515C.√1020D.√1030解析以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设 N 32,0,0 ,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),⃗BM =(-3,0,1),⃗B1 N= -32,-3,-3 .cos<⃗BM ,⃗B1 N>= ⃗B1N ·⃗BM|⃗B1N ||⃗BM | =√1030 ,故选 D.答案 D5.已知点 A(m,-2,n),点 B(-5,6,24)和向量 a=(-3,4,12),且⃗AB∥a,则点 A 的坐标为 . 解析 A(m,-2,n),B(-5,6,24),∴⃗AB=(-5-m,8,24-n).又向量 a=(-3,4,12),且⃗AB∥a,∴⃗AB=λa,即{-5-m=-3 λ,8=4 λ,24- n=12 λ,解得 λ=2,m=1,n=0,∴点 A 的坐标为(1,-2,0).答案(1,-2,0)6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN=√2a3,则 MN 与平面BB1C1C 的位置关系是 . 解析 正方体棱长为 a,A1M=AN=√2a3,∴⃗MB=23⃗A1B,⃗CN=23⃗CA.∴⃗MN=⃗MB+⃗BC+⃗CN =23⃗A1B+⃗BC+ 23⃗CA=23 ¿)+⃗BC+ 23 ¿)2=23⃗B1B+ 13⃗B1C1.又⃗CD是平面 B1BCC1的法向量,∴⃗MN ·⃗CD=(23⃗B1B+ 13⃗B1C1)·⃗CD=0.∴⃗MN ⊥⃗CD.又 MN⊄平面 B1BCC1,∴MN∥平面 B1BCC1.答案平行7.(2019 天津高考)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点 E 在线段 CB ...
