第一节整数的 p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。基础知识给定一个m 位的正整数A，其各位上的数字分别记为021,,,aaamm，则此数可以简记为：021aaaAmm（其中01ma）。由于 我 们 所研 究 的 整数 通 常 是 十 进 制的 ， 因 此A可 以 表示 成10的1m次 多 项 式 ， 即012211101010aaaaAmmmm，其中1,,2,1},9,,2,1,0{miai且01ma，像这种 10 的多项式表示 的数 常常 简 记 为10021)(aaaAmm。在我 们的日常生活中，通常将下标 10 省略 不 写， 并 且 连 括号 也 不 用 ， 记 作021aaaAmm，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0 与 1 这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。为了具备一般性，我们给出正整数A 的 p 进制表示：012211apapapaAmmmm，其中1,,2,1},1,,2,1,0{mipai且01ma。而 m 仍然为十进制数字，简记为pmmaaaA)(021。典例分析例 1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。分析与解答分析：用 2 作为除数（若化为p 进位制就以 p 作为除数），除 2004 商 1002，余数为 0；再用 2 作为除数，除1002 商 501 余数为 0；如此继续下去，起到商为0 为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。解：各次商数被除数除数0 1 3 7 15 31 62 125 250 501 1002 2004 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 各次余数故210)01111101010()2004(，246789104212121212121214102；同理，有810)3274()2004(，48782834102234。处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。例 2．求满足3)(cbaabc的所有三位数 ...
