辅助圆来帮忙张圣官圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。例 1. 求直线 的方程，使点 A（1，1），B（5，3）到 的距离都等于 1。解：如图 1，分别以 A、B 为圆心，作半径为 1 的辅助圆，于是原问题就转化为求两圆的外公切线与内公切线方程。因为，所以可设外公切线方程为即由 A（1，1）到切线的距离为 1，得：所以因为 AB 的中点为（3，2），所以可设内公切线方程为即由 A（1，1）到切线的距离为 1，得 所以或故所求直线 的方程为或或 例 2. 如图 2，在平面直角坐标系中，给定 y 轴正半轴上两点 A（0，a），B（0，b）（），试在 x 轴正半轴上求一点 C，使∠ACB 取得最大值。解：设 C 是 x 轴正半轴上一点，在△ABC 中，由正弦定理，有其中 R 是△ABC 的外接圆的半径。可见，当 R 取得最小值时，∠ACB 取得最大值。在过 A、B 两定点且与 x 轴正向有交点 C 的诸圆中，当且仅当点 C 是圆与 x 轴的切点时，半径最小。故切点 C 即为所求。由切割线定理，得：所以 即点 C 的坐标为时，∠ACB 取得最大值。例 3. 已知，求证：证明：设，则所以，点是直线与圆的公共点。由直线和圆有公共点的充要条件，得：解得：即 例 4. 实数 x，y 满足，设，则的值是____________。分析：把变形为，利用圆的参数方程求解。解：设根据题意可得：即因此即 例 5. 设双曲线的两支分别为（如图 3），正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上。若在上，Q、R 在上，求顶点 Q、R 的坐标。图 3分析：正三角形 PQR 中，有则以为圆心，为半径的圆与双曲线交于 R、Q 两点。根据两曲线方程可求出交点 Q、R 坐标。解：设以 P 为圆心，为半径的圆的方程为由得：（其中，可令进行换元解之）设 Q、R 两点的坐标分别为则即同理可得：且因为△PQR 是正三角形，则即得代入方程即由方程组，得： 或 所以，所求 Q、R 的坐标分别为
