高中数学竞赛专题讲座之七排列组合 二项式定理和概率一、排列组合二项式定理1．(2005 年浙江)设，求的值为（ ）A． B． C． D．【解】令 得 ；（1）令 得 ；（2）令 得 ；（3） （2）＋（3）得 ，故 ，再由（1）得 。 选 【 C 】2．（2004 全国）设三位数，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 n 有 （ ）A．45 个B．81 个C．165 个D．216 个解：a，b，c 要能构成三角形的边长，显然均不为 0。即 （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中三个数码都相同，所以，. （2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为，由于三位数中只有 2个不同数码. 设为 a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有。但当大数为底时，设 a>b，必须满足。此时，不能构成三角形的数码是a987654321b4，32，14，32，13，213，211，21，211共 20 种情况。同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有种情况。故。综上，。3．（2005 四川）设，若“方程满足，且方程至少有一根”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为A．8 B．10 C．12 D．14解：由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为时，有 9 个满足题意的“漂亮方程”，当一根为时，有 3 个满足题意的“漂亮方程”。共有 12 个，故选 C。4．（2005 四川）设是的任一排列， 是到的映射，且满足，记数表。若数表的对应位置上至少有一个不同，就说是两张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（ ）A．144 B．192 C．216 D．576解：对于的一个排列，可以 9 个映射满足，而共有1个排列，所以满足条件的数表共有张，故选 C。5．(2005 江西)连结正五边形的对角线交另一个正五边形，两次连结正五边形的对角线，又交出一个正五边形（如图），以图中线段为边的三角形中，共有等腰三角形的个数为 （ ）A．50 B．75 C．85 D．100解：对于其中任一点 P，以 P 为“顶”（两腰的公共点）的等腰三角形的个数记为[P]则., 由于图中没有等边三角形，则每个等腰三角形恰有一个“顶”。据对称性可知.因此等腰三角形共有个.6．(2005 全国)将关于的多项式表为关于的多项式其中则.解：由题设知，和式中的各项构成首项为 1，公比为的等比数列，由等比数列的求和公式，得：令得取有7．如果自然数 的各位数字之和等于 7，...
