内积空间的基本概念VIP专享VIP免费

Hilbert 空间 一 内积空间的基本概念 设H 是域K 上的线性空间，对任意 Hy,x，有一个中K 数),(yx与之对应，使得对任意Hz,y,x；K满足 1） 0)y,x(；)y,x(＝0，当且仅当 0x ； 2） )y,x(＝___________)x,y(； 3） )y,x()y,x(； 4） )z,yx( ＝)z,x(＋)z,y(； 称)(, 是H 上的一个内积，H 上定义了内积称为内积空间。 定理 1.1设H 是内积空间，则对任意 Hyx,有： |)y,x(|2)y,y)(x,x(。 设H 是内积空间，对任意Hx ，命 ),(||||xxx  则||||是H 上的一个范数。 例 设H 是区间],[ba上所有复值连续函数全体构成的线性空间，对任意 Hyx,，定义 dttytxyxba________)()(),( 则与 ],[2baL类似，),(yx是一个内积，由内积产生的范数为 212)|)(|(||||badttxx 上一个内积介不是Hilbert 空间。 1.2 设H 是内积空间，则内积),(yx是yx,的连续函数，即时 xxn ， yyn ，),(),(yxyxnn。 定理 1.3 设H 是内积空间，对任意Hyx,，有以下关系式成立， 1） 平行四边形法则： 2||||yx ＋2||||yx ＝2)||||||(||22yx； 2） 极化恒等式： ),(yx＝ 41（2||||yx －2||||yx ＋2||||iyxi－)||||2iyxi 定理 1.4 设X 是赋范空间，如果范数满足平行四边形法则，则可在 X 中定义一个内积，使得由它产生的范数正是X 中原来的范数。 二 正交性，正交系 1 正交性 设H 是内积空间， Hyx,，如果0),(yx，称 x 与 y正交，记为yx 。 设M 是H 的任意子集，如果Hx 与 M 中每一元正交，称 x 与 M 正交，记为Mx ；如果NM,是H 中两个子集，对 于 任 意,Mx,Nyyx ，称 M 与 N 正 交 ，记NM 。设M 是H 的子集，所有H 中与M 正交的元的全体M 的正交补，记为M 。 定理 2.1 设H 是内积空间 1） 如果Hz,y,x，zyx且zy ，则2|||| x＝2|||| y＋2|||| z； 2） 如 果 L 是 H 的一 个 稠 密 子 集 ，即HL __，并 且Lx ，则0x； 3） M 是H 的任意子集，则M 是H 的闭子空间。 定理 2.2 设 M 是内积空间 H 中的完备凸集，则对任意Hx ，存在Mx 0，使得 ||||0xx ＝),(Mxd||||infyxMy 定理 2.3（正交分解）设M 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则对任意Hx ，存在唯一的Mx 0及 My，使得 yxx0 2 正交系 设}{x，I是...