勾股定理竞赛培训题1、如图 1，△ ABC和△ CDE都是等腰直角三角形，∠C=90° ，将△ CDE绕点 C 逆时针旋转一个角度α （ 0° ＜ α ＜90° ），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证： AD=BE，且 AD⊥BE；③作 CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM， AE，BE之间的数量关系；（2）如图 3，正方形ABCD边长为，若点 P 满足 PD=1，且∠ BPD=90° ，请直接写出点A到 BP的距离．2、（ 1）问题发现：如图1，△ ACB和△ DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点 A，D，E 在同一直线上，连接BE，易证△ BCE≌△ ACD．则①∠ BEC＝＿＿＿＿＿＿° ；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图 2，△ ACB和△ DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠ DCE＝90° ，点 A、D、E 在同一直线上，若 AE＝15，DE＝7，求 AB的长度．（3）探究发现：如图 3，P为等边△ ABC内一点，且∠APC＝150° ，且∠ APD＝ 30° ， AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD的长．3、如图 1，△ ABC中， CD⊥AB于 D，且 BD：AD： CD=2：3：4，（1）试说明△ ABC是等腰三角形；（2）已知 S△ABC=10cm2，如图 2，动点 M从点 B 出发以每秒1cm的速度沿线段BA 向点 A 运动， 同时动点 N从点 A 出发以相同速度沿线段AC向点 C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t （秒），①若△ DMN的边与 BC平行，求t 的值；②若点 E 是边 AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．4、已知，△ ABC中，AC=BC，∠ACB=90° ，D为 AB 的中点，若 E 在直线 AC上任意一点，DF⊥DE，交直线 BC于 F 点． G为 EF 的中点，延长CG交 AB于点 H．（1）若 E 在边 AC上．①试说明DE=DF；②试说明CG=GH；（2）若 AE=3，CH=5．求边 AC的长．5、如图①，在矩形ABCD中， AB＝5，AD＝， AE⊥BD，垂足是 E. 点 F 是点 E 关于 AB的对称点，连结 AF，BF. (1) 求 AE和 BE的长．(2) 若将△ ABF沿着射线BD方向平移， 设平移的距离为m( 平移距离指点B 沿 BD方向所经过的线段长度 ) ．当点 F分别平移到线段AB，AD上时，直接写出相应的m的值．(3) 如图②，将△ ABF绕点 B顺时针旋转一个角α (0 ° ＜ α ＜180°) ，记旋转中的△ABF为△ A′BF′ ，在旋转过程中，设A′F′ 所在...
